离散有限时间保险公司投资策略最优解：一阶条件与动态规划

根据动态规划的思想，我们可以先考虑在t=T-1时的最优投资策略，然后逐步向前推导出每个时间点的最优策略。

在t=T-1时，保险公司的财富过程为：

w_T = (w_{T-1} - \pi_{T-1})r_{T-1} + \pi_{T-1}R_{T-1} + c_{T-1} - \delta(q_{T-1}) - q_{T-1}z_{T-1}

将效用函数U(w)代入，得到：

J(u) = E[K - D\mathrm{e}^{-\gamma w_T}] = K - D\mathrm{e}^{-\gamma E[w_T]} \mathrm{e}^{-\gamma Var[w_T]/2}

我们的目标是最大化J(u)，即最大化E[w_T]。根据贝叶斯定理，我们可以得到：

E[w_T] = E[(w_{T-1} - \pi_{T-1})r_{T-1} + \pi_{T-1}R_{T-1} + c_{T-1} - \delta(q_{T-1}) - q_{T-1}z_{T-1}] = E[w_{T-1}r_{T-1}] - E[\pi_{T-1}r_{T-1}] + E[\pi_{T-1}R_{T-1}] + E[c_{T-1}] - E[\delta(q_{T-1})] - E[q_{T-1}z_{T-1}]

其中，E[w_{T-1}r_{T-1}]可以看作是已知的，而E[\pi_{T-1}r_{T-1}]和E[\pi_{T-1}R_{T-1}]则需要我们来求解。由于R_t服从均值为\mu_t，方差为\sigma_t^2的正态分布，我们可以利用正态分布的性质，得到：

E[\pi_{T-1}R_{T-1}] = E[\pi_{T-1}]\mu_{T-1}

接下来考虑如何求解E[\pi_{T-1}]。我们可以将财富过程表示为：

w_{T-1} = (w_{T-2} - \pi_{T-2})r_{T-2} + \pi_{T-2}R_{T-2} + c_{T-2} - \delta(q_{T-2}) - q_{T-2}z_{T-2}

将其代入E[w_T]的式子中，得到：

E[w_T] = E[(w_{T-2} - \pi_{T-2})r_{T-2} + \pi_{T-2}R_{T-2} + c_{T-2} - \delta(q_{T-2}) - q_{T-2}z_{T-2}]r_{T-1} - E[\pi_{T-1}r_{T-1}] + E[\pi_{T-1}]\mu_{T-1} + E[c_{T-1}] - E[\delta(q_{T-1})] - E[q_{T-1}z_{T-1}]

我们可以将E[w_T]表示为一个关于\pi_{T-2}的函数：

E[w_T] = f(\pi_{T-2})

我们的目标是最大化E[w_T]，即最大化f(\pi_{T-2})。根据一阶最优化条件，我们有：

\frac{\partial f}{\partial \pi_{T-2}} = 0

将f(\pi_{T-2})代入，得到：

E[(r_{T-2} - R_{T-2})\pi_{T-2}] + r_{T-1}E[\pi_{T-1}] - r_{T-1}E[\pi_{T-2}] = 0

将E[\pi_{T-1}]的表达式代入，得到：

E[(r_{T-2} - R_{T-2})\pi_{T-2}] + r_{T-1}E[\pi_{T-2}]\left(1 - \frac{\alpha_{T-1}(1+\theta_{T-1})}{w_{T-1}}\right) - r_{T-1}\pi_{T-2} = 0

整理，得到：

E[\pi_{T-2}] = \frac{r_{T-2}}{r_{T-1}}E[\pi_{T-1}]\left(1 - \frac{\alpha_{T-1}(1+\theta_{T-1})}{w_{T-1}}\right) + \frac{1}{r_{T-1}}E[(R_{T-2} - r_{T-2})\pi_{T-2}]

这就是在t=T-2时的最优投资策略。我们可以依次向前推导出每个时间点的最优策略。最终，我们可以得到在t=T-1时的最优投资策略为：

\pi_{T-1}^* = \frac{w_{T-1}}{\alpha_{T-1}(1+\theta_{T-1}) + \frac{\sigma_{T-1}^2}{r_{T-1}}\mathrm{e}^{-2\gamma(\mu_{T-1}-r_{T-1})}}\left(1 - \frac{\sigma_{T-1}^2}{r_{T-1}}\mathrm{e}^{-2\gamma(\mu_{T-1}-r_{T-1})}\right)

其中，w_{T-1}可以通过财富过程的式子计算得到。