保险公司在离散有限时间模型中的值函数计算

根据动态规划的思想，倒推求解保险公司在t期的值函数V_t(w_t)。假设在t+1期时，保险公司的财富为w_{t+1}，则有：

V_t(w_t)=max_{π_t,q_t}{E_t[V_{t+1}(w_{t+1})]}

其中，E_t表示在t期时对未来的期望，即：

E_t[V_{t+1}(w_{t+1})]=∫_{-∞}^{∞}∫_{-∞}^{∞} V_{t+1}(w_{t+1}) f(R_t) f(z_t) dR_t dz_t

其中，f(R_t)和f(z_t)分别表示风险资产收益率和索赔金额的概率密度函数。由于R_t和z_t相互独立，因此可以将上式分解为两个积分：

E_t[V_{t+1}(w_{t+1})]=∫_{-∞}^{∞} V_{t+1}(w_{t+1}) f(R_t) dR_t ∫_{-∞}^{∞} f(z_t) dz_t

第二个积分的结果为1，因为z_t是已知的。对于第一个积分，由于R_t服从正态分布，因此可以将其表示为：

∫_{-∞}^{∞} V_{t+1}(w_{t+1}) f(R_t) dR_t=∫_{-∞}^{∞} V_{t+1}(w_{t+1}) 1/√(2π)σ_t e^(-(R_t-μ_t)²/(2σ_t²)) dR_t

将w_{t+1}代入上式，得到：

∫_{-∞}^{∞} V_{t+1}(w_t r_t + π_t R_t + c_t - δ(q_t) - q_t z_t) 1/√(2π)σ_t e^(-(R_t-μ_t)²/(2σ_t²)) dR_t

将投资策略π_t和再保险策略q_t代入上式，得到：

∫_{-∞}^{∞} V_{t+1}(w_t r_t + (μ_t-r_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ σ_t²) R_t + c_t - (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t - (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t) 1/√(2π)σ_t e^(-(R_t-μ_t)²/(2σ_t²)) dR_t

将上式中的积分变量R_t替换为x=(R_t-μ_t)/σ_t，得到：

∫_{-∞}^{∞} V_{t+1}(w_t r_t + (μ_t-r_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ σ_t²) σ_t x + c_t - (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t - (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t) 1/√(2π) e^(-x²/2) dx

将上式中的积分变量替换为y=(w_t r_t + (μ_t-r_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ σ_t²) σ_t x + c_t - (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t - (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t)，得到：

∫_{-∞}^{∞} V_{t+1}(y) 1/√(2π) e^(-(y-w_t r_t - c_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t - (μ_t-r_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ σ_t²) σ_t x)²/2) dy

上式中的积分变量y的范围是(-∞,∞)，因此可以将其看作是对整个实数轴上的函数进行积分。由于指数效用函数V(w)=K-D e^(-γ w)是凸函数，因此对于任意的实数a和b，有：

V(λ a + (1-λ) b) ≥ λ V(a) + (1-λ) V(b)

其中，λ∈[0,1]。将上式应用到上式中的积分变量y上，得到：

V_{t+1}(w_t r_t + c_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t - (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t) ≥ ∫_{-∞}^{∞} 1/√(2π) e^(-(y-w_t r_t - c_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t - (μ_t-r_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ σ_t²) σ_t x)²/2) V_{t+1}(y) dy

将上式中的积分变量y替换为w_{t+1}，得到：

V_{t+1}(w_t r_t + c_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t - (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t) ≥ ∫_{-∞}^{∞} 1/√(2π) e^(-(w_{t+1}-w_t r_t - c_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t - (μ_t-r_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ σ_t²) σ_t x)²/2) V_{t+1}(w_{t+1}) dw_{t+1}

上式中的积分变量w_{t+1}的范围是[0,∞)，因此可以将其看作是对整个非负实数轴上的函数进行积分。为了方便计算，将上式中的积分变量替换为z=w_{t+1}-w_t r_t - c_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t - (μ_t-r_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ σ_t²) σ_t x，得到：

上式中的积分变量z的范围是(-∞,∞)，因此可以将其看作是对整个实数轴上的函数进行积分。由于指数效用函数V(w)=K-D e^(-γ w)是凸函数，因此对于任意的实数a和b，有：

V(λ a + (1-λ) b) ≥ λ V(a) + (1-λ) V(b)

其中，λ∈[0,1]。将上式应用到上式中的积分变量z上，得到：

V_{t+1}(w_t r_t + c_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t - (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t) ≥ E_{t+1}[K_{t+1}-D_{t+1} e^(-γ (w_t r_t + c_t + Z_{t+1}))]

其中，Z_{t+1}是在t+1期时的随机变量，服从正态分布N(μ_{t+1},σ_{t+1}²)，K_{t+1}和D_{t+1}是常数，分别为：

K_{t+1}=K-D_{t+1} e^(-γ (w_t r_t + c_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t - (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t))

D_{t+1}=D e^(-γ (w_t r_t + c_t + (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) (1+θ_t)(1-(θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²)) α_t - (θ_t α_t)/(∏_(i=t+1)^(T-1) r_i γ β_t²) z_t))

由于在t=T-1时，不存在t+1期的值函数，因此需要直接计算V_{T-1}(w_{T-1})的表达式。根据保险公司的效用函数V(w)=K-D e^(-γ w)，可以得到：

V_{T-1}(w_{T-1})=K-D e^(-γ w_{T-1})

将上式代入V_t(w_t)=max_{π_t,q_t}{E_t[V_{t+1}(w_{t+1})]}，得到：

V_{T-1}(w_{T-1})=max_{π_{T-1},q_{T-1}}{E_{T-1}[K-D e^(-γ (w_{T-1} r_{T-1} + π_{T-1} R_{T-1} + c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - q_{T-1} z_{T-1}))]}

由于K和D是常数，因此可以将其移出期望运算符，得到：

V_{T-1}(w_{T-1})=K-D max_{π_{T-1},q_{T-1}}{E_{T-1}[e^(-γ (w_{T-1} r_{T-1} + π_{T-1} R_{T-1} + c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - q_{T-1} z_{T-1}))]}

将上式中的期望运算符展开，得到：

V_{T-1}(w_{T-1})=K-D max_{π_{T-1},q_{T-1}}{∫_{-∞}^{∞}∫_{-∞}^{∞} e^(-γ (w_{T-1} r_{T-1} + π_{T-1} R_{T-1} + c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - q_{T-1} z_{T-1})) f(R_{T-1}) f(z_{T-1}) dR_{T-1} dz_{T-1}}

由于R_{T-1}和z_{T-1}相互独立，因此可以将上式分解为两个积分：

V_{T-1}(w_{T-1})=K-D max_{π_{T-1},q_{T-1}}{∫_{-∞}^{∞} e^(-γ (w_{T-1} r_{T-1} + π_{T-1} R_{T-1} + c_{T-1} - δ(q_{T-1}))) f(R_{T-1}) dR_{T-1} ∫_{-∞}^{∞} e^(-γ q_{T-1} z_{T-1}) f(z_{T-1}) dz_{T-1}}

第二个积分的结果为：

∫_{-∞}^{∞} e^(-γ q_{T-1} z_{T-1}) f(z_{T-1}) dz_{T-1}=E_{T-1}[e^(-γ q_{T-1} z_{T-1})]

由于z_{T-1}服从正态分布N(α_{T-1},β_{T-1}²) ，因此可以将其表示为：

E_{T-1}[e^(-γ q_{T-1} z_{T-1})]=e^(-γ q_{T-1} α_{T-1} + (γ² q_{T-1}² β_{T-1}²)/2)

对于第一个积分，由于R_{T-1}服从正态分布，因此可以将其表示为：

∫_{-∞}^{∞} e^(-γ (w_{T-1} r_{T-1} + π_{T-1} R_{T-1} + c_{T-1} - δ(q_{T-1}))) f(R_{T-1}) dR_{T-1}=e^(-γ (w_{T-1} r_{T-1} + c_{T-1} - δ(q_{T-1}))) ∫_{-∞}^{∞} e^(-γ π_{T-1} R_{T-1}) f(R_{T-1}) dR_{T-1}

由于R_{T-1}服从正态分布N(μ_{T-1},σ_{T-1}²) ，因此可以将其表示为：

∫_{-∞}^{∞} e^(-γ π_{T-1} R_{T-1}) f(R_{T-1}) dR_{T-1}=e^(-γ π_{T-1} μ_{T-1} + (γ² π_{T-1}² σ_{T-1}²)/2)

将以上结果代入V_{T-1}(w_{T-1})的表达式，得到：

V_{T-1}(w_{T-1})=K-D max_{π_{T-1},q_{T-1}}{e^(-γ (w_{T-1} r_{T-1} + c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - π_{T-1} μ_{T-1} + (γ² π_{T-1}² σ_{T-1}²)/2 - q_{T-1} α_{T-1} + (γ² q_{T-1}² β_{T-1}²)/2)}

为了求解V_{T-1}(w_{T-1})的表达式，需要对π_{T-1}和q_{T-1}进行优化。由于V_{T-1}(w_{T-1})是关于π_{T-1}和q_{T-1}的凹函数，因此可以使用一阶条件来求解最优值。对V_{T-1}(w_{T-1})分别关于π_{T-1}和q_{T-1}求导，并令导数为0，得到：

∂V_{T-1}(w_{T-1})/∂π_{T-1}=-γ e^(-γ (w_{T-1} r_{T-1} + c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - π_{T-1} μ_{T-1} + (γ² π_{T-1}² σ_{T-1}²)/2 - q_{T-1} α_{T-1} + (γ² q_{T-1}² β_{T-1}²)/2)) (μ_{T-1} - γ π_{T-1} σ_{T-1}²)=0

∂V_{T-1}(w_{T-1})/∂q_{T-1}=-γ e^(-γ (w_{T-1} r_{T-1} + c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - π_{T-1} μ_{T-1} + (γ² π_{T-1}² σ_{T-1}²)/2 - q_{T-1} α_{T-1} + (γ² q_{T-1}² β_{T-1}²)/2)) (α_{T-1} - γ q_{T-1} β_{T-1}²)=0

解上述方程组，得到最优投资策略π_{T-1}和最优再保险策略q_{T-1}：

π_{T-1}=(μ_{T-1}-r_{T-1})/(γ σ_{T-1}²)

q_{T-1}=α_{T-1}/(γ β_{T-1}²)

将π_{T-1}和q_{T-1}代入V_{T-1}(w_{T-1})的表达式，得到：

V_{T-1}(w_{T-1})=K-D e^(-γ (w_{T-1} r_{T-1} + c_{T-1} - δ((α_{T-1})/(γ β_{T-1}²)) - (μ_{T-1}-r_{T-1})/(γ σ_{T-1}²) μ_{T-1} + (γ² ((μ_{T-1}-r_{T-1})/(γ σ_{T-1}²))² σ_{T-1}²)/2 - (α_{T-1})/(γ β_{T-1}²) α_{T-1} + (γ² ((α_{T-1})/(γ β_{T-1}²))² β_{T-1}²)/2))

化简上式，得到：

V_{T-1}(w_{T-1})=K-D e^(-γ (w_{T-1} r_{T-1} + c_{T-1} - (1+θ_{T-1})(1-(α_{T-1})/(γ β_{T-1}²)) α_{T-1} - (μ_{T-1}²-r_{T-1} μ_{T-1})/(2 γ σ_{T-1}²) - (α_{T-1}²)/(2 γ β_{T-1}²)))

这就是保险公司在t=T-1期时的值函数表达式。