离散有限时间T期模型下保险公司值函数的计算

离散有限时间T期模型下保险公司值函数的计算/n/n本文基于下列已知条件，利用倒推法和一阶最优化准则计算保险公司在时刻t=T-1时的值函数表达式：/n/n已知条件：/n/n* 考虑离散有限时间T期模型，假设无风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为r_t，风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为R_t， t=0,1,⋯,T-1。/n* 假设保险公司的初始财富为w_0，令π_t表示保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t表示保险公司在时刻t所收取的保费，z_t为其在时刻t所需支出的索赔金额。/n* z_t和R_t相互独立，且假定z_t在各阶段的期望和方差分别为α_t，β_t^2。/n* 用风险暴露值q_t∈[0,+∞)表示保险公司购买比例再保险或获取新业务程度。/n * 当q_t∈[0,1]时，对应于购买了一份比例再保险，此时保险公司承担100q_t%比例的风险，再保险公司承担剩下 100(1-q_t )%比例的风险，支付的保费率为δ(q_t)=(1+θ_t)(1-q_t) α_t，其中θ_t为再保险公司的安全负荷系数。/n * 当q_t∈[1,+∞)时，对应于保险公司获得新业务。/n* 财富过程为：w_{t+1}=(w_t-π_t) r_t+π_t R_t+ c_t-δ(q_t)-q_t z_t/n* 假设无风险资产收益率为r_t为会随时间变化的常数，风险资产收益率为R_t服从均值和方差分别为μ_t，σ_t^2的正态分布。/n* 保险公司的决策目标是追求自身终端财富的最大化。假设U(∙)是严格递增严格凹的函数，即U'(∙)>0且U''(∙)<0，表示保险公司的效用函数。定义保险公司在终端时刻T的期望财富效用为J(u)≜E[U(W_T )]。/n* 保险公司面临的优化问题是选择可行投资与再保险策略u，使得sup┬(u∈Π) J(u)=J(u^* )/n* 保险公司的效用满足如下指数效用函数，即U(w)=K-D e^(-γ w)/n* 已知再保险策略为/hat{q}t=θ_t α_t / (∏{i=t+1}^{T-1} r_i γ β_t^2)/n* 已知投资策略为/hat{π}t=(μ_t-r_t) / (∏{i=t+1}^{T-1} r_i γ σ_t^2)/n/n计算过程：/n/n根据倒推法，可以得到保险公司在时刻t的期望财富效用为：/n/nJ_t(u_t)=E[U(W_T)|π_t=u_t]/n/n将财富过程代入上式，得到：/n/nJ_t(u_t)=E[U((w_t-u_t)r_t+u_tR_t+c_t-δ(q_t)-q_tz_t)|π_t=u_t]/n/n由于z_t和R_t相互独立，因此可以将期望拆分为两部分：/n/nJ_t(u_t)=E[U((w_t-u_t)r_t+u_tR_t+c_t-δ(q_t))|π_t=u_t]-q_tE[U(z_t)|π_t=u_t]/n/n将指数效用函数代入上式，得到：/n/nJ_t(u_t)=K-D∫_{-/infty}^{+/infty}e^(-γ((w_t-u_t)r_t+u_tR_t+c_t-δ(q_t))) * (1 / (√(2π)σ_t)) * e^(-(R_t-μ_t)^2 / (2σ_t^2)) dR_t - q_tK + q_tD e^(-γ α_t)/n/n对上式进行一阶泰勒展开，得到：/n/nJ_t(u_t)≈ K-D e^(-γ(w_t-/hat{π}tr_t+/hat{π}tμ_t+c_t-δ(/hat{q}t))) - q_tK + q_tD e^(-γ α_t)/n/n将再保险策略和投资策略代入上式，得到：/n/nJ{T-1}(u{T-1})≈ K-D e^(-γ(w{T-1}-/hat{π}{T-1}r{T-1}+/hat{π}{T-1}μ{T-1}+c_{T-1}-δ(/hat{q}{T-1}))) -/hat{q}{T-1}K +/hat{q}{T-1}D e^(-γ α{T-1})/n/n因此，保险公司在时刻t=T-1时的值函数表达式为：/n/nJ_{T-1}(u_{T-1})≈ K-D e^(-γ(w_{T-1}-/hat{π}{T-1}r{T-1}+/hat{π}{T-1}μ{T-1}+c_{T-1}-δ(/hat{q}{T-1}))) -/hat{q}{T-1}K +/hat{q}{T-1}D e^(-γ α{T-1})