保险公司在 T-1 时刻的值函数计算 - 倒推法和一阶最优化准则 - 常规

保险公司在 T-1 时刻的值函数计算 - 倒推法和一阶最优化准则

已知条件:

考虑下面的离散有限时间 T 期模型，假设无风险资产在第 t 期即时间段 (t, t+1] 的收益率为 r_t，风险资产在第 t 期即时间段 (t, t+1] 的收益率为 R_t， t=0, 1, ⋯, T-1。
假设保险公司的初始财富为 w_0，令 \pi_t 表示保险公司在时刻 t 投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t 表示保险公司在时刻 t 所收取的保费，z_t 为其在时刻 t 所需支出的索赔金额，z_t 和 R_t 相互独立（一般来讲，保险公司的索赔与证券资产收益率是相互独立的），且假定 z_t 在各阶段的期望和方差分别为 \alpha_t，\beta_t^2。
用风险暴露值 q_t ∈ [0, +∞) 表示保险公司购买比例再保险或获取新业务程度。当 q_t ∈ [0, 1] 时，对应于购买了一份比例再保险，此时保险公司承担 100q_t% 比例的风险，再保险公司承担剩下 100(1-q_t )% 比例的风险，支付的保费率为 \delta(q_t) = (1 + \theta_t)(1 - q_t) \alpha_t，其中 \theta_t 为再保险公司的安全负荷系数；当 q_t ∈ [1, +∞) 时，对应于保险公司获得新业务。
财富过程 w_{t+1} = {(w_t - \pi_t) r_t} + {\pi_t R_t} + c_t - \delta(q_t) - q_t z_t
假设无风险资产收益率为 r_t 为会随时间变化的常数，风险资产收益率为 R_t 服从均值和方差分别为 \mu_t，\sigma_t^2 的正态分布
保险公司的决策目标是追求自身终端财富的最大化。假设 U(∙) 是严格递增严格凹的函数，即 U'(∙) > 0 且 U''(∙) < 0，表示保险公司的效用函数。定义保险公司在终端时刻 T 的期望财富效用为 J(u) ≜ E[U(W_T )]
保险公司面临的优化问题是选择可行投资与再保险策略 u，使得 sup┬(u ∈ Π) J(u) = J(u^* )
保险公司的效用满足如下指数效用函数，即 U(w) = K - D \mathrm{e}^{-\gamma w}
已知再保险策略为 \hat{q}t = \frac{\theta_t \alpha_t}{\prod{i=t+1}^{T-1} r_i \gamma \beta_t^2}
投资策略为 \hat{\pi}t = \frac{\mu_t - r_t}{\prod{i=t+1}^{T-1} r_i \gamma \sigma_t^2}

计算过程:

根据倒推法，可得到保险公司的值函数在 t=T-1 时的表达式为：

$$\begin{aligned} J(u_{T-1}) &= E[U(w_T)] \&= E[U((w_{T-1} - \pi_{T-1})r_{T-1} + \pi_{T-1}R_{T-1} + c_{T-1} - \delta(q_{T-1}) - q_{T-1}z_{T-1})] \end{aligned}$$

将效用函数代入上式，得到：

$$\begin{aligned} J(u_{T-1}) &= K - D E[\mathrm{e}^{-\gamma((w_{T-1} - \pi_{T-1})r_{T-1} + \pi_{T-1}R_{T-1} + c_{T-1} - \delta(q_{T-1}) - q_{T-1}z_{T-1})}] \end{aligned}$$

将财富过程代入上式，得到：

$$\begin{aligned} J(u_{T-1}) &= K - D E[\mathrm{e}^{-\gamma((w_{T-2} - \pi_{T-2})r_{T-2} + \pi_{T-2}R_{T-2} + c_{T-2} - \delta(q_{T-2}) - q_{T-2}z_{T-2})}] \&= K - D E[\mathrm{e}^{-\gamma((w_{T-2} - \hat{\pi}{T-2})r{T-2} + \hat{\pi}{T-2}R{T-2} + c_{T-2} - \delta(\hat{q}{T-2}) - \hat{q}{T-2}z_{T-2})}] \end{aligned}$$

将再保险策略和投资策略代入上式，得到：

$$\begin{aligned} J(u_{T-1}) &= K - D E[\mathrm{e}^{-\gamma((w_{T-2} - \frac{\mu_{T-2} - r_{T-2}}{r_{T-1}\gamma\sigma_{T-2}^2})r_{T-2} + \frac{\mu_{T-2} - r_{T-2}}{r_{T-1}\gamma\sigma_{T-2}^2}R_{T-2} + c_{T-2} - \delta(\frac{\theta_{T-2}\alpha_{T-2}}{r_{T-1}\gamma\beta_{T-2}^2}) - \frac{\theta_{T-2}\alpha_{T-2}}{r_{T-1}\gamma\beta_{T-2}^2}z_{T-2})}] \end{aligned}$$

由于 R_{T-2} 服从正态分布，所以上式可以进一步化简为：

$$\begin{aligned} J(u_{T-1}) &= K - D\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\gamma((w_{T-2} - \frac{\mu_{T-2} - r_{T-2}}{r_{T-1}\gamma\sigma_{T-2}^2})r_{T-2} + \frac{\mu_{T-2} - r_{T-2}}{r_{T-1}\gamma\sigma_{T-2}^2}x + c_{T-2} - \delta(\frac{\theta_{T-2}\alpha_{T-2}}{r_{T-1}\gamma\beta_{T-2}^2}) - \frac{\theta_{T-2}\alpha_{T-2}}{r_{T-1}\gamma\beta_{T-2}^2}z_{T-2})}p(R_{T-2} = x)dx \end{aligned}$$

其中，p(R_{T-2} = x) 为 R_{T-2} 的概率密度函数。由于 R_{T-2} 服从正态分布，所以 p(R_{T-2} = x) 为：

$$\begin{aligned} p(R_{T-2} = x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{T-2}}\mathrm{e}^{-\frac{(x - \mu_{T-2})^2}{2\sigma_{T-2}^2}} \end{aligned}$$

将上式代入原式，得到：

根据一阶最优化准则，可得到最优再保险策略和最优投资策略为：

$$\begin{aligned} \hat{q}{T-1} &= \frac{\theta{T-1}\alpha_{T-1}}{r_T\gamma\beta_{T-1}^2} \\hat{\pi}{T-1} &= \frac{\mu{T-1} - r_{T-1}}{r_T\gamma\sigma_{T-1}^2} \end{aligned}$$

将最优再保险策略和最优投资策略代入上式，即可得到保险公司的值函数在 t=T-1 时的表达式。