离散有限时间保险公司投资与再保险策略优化问题求解 - 倒推法和一阶最优化准则

离散有限时间保险公司投资与再保险策略优化问题求解 - 倒推法和一阶最优化准则

已知条件：

考虑下面的离散有限时间T期模型，假设无风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为r_t，风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为R_t， t=0,1,⋯,T-1。假设保险公司的初始财富为w_0，令\pi_t表示保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t表示保险公司在时刻t所收取的保费，z_t为其在时刻t所需支出的索赔金额，z_t和R_t相互独立（一般来讲，保险公司的索赔与证券资产收益率是相互独立的），且假定z_t在各阶段的期望和方差分别为\alpha_t\，\beta_t^2

用风险暴露值q_t∈[0,+∞)表示保险公司购买比例再保险或获取新业务程度。当q_t∈[0,1]时，对应于购买了一份比例再保险，此时保险公司承担100q_t%比例的风险，再保险公司承担剩下 100(1-q_t )%比例的风险，支付的保费率为\delta(q_t)=(1+\theta_t)(1-q_t) \alpha_t，其中\theta_t为再保险公司的安全负荷系数；当q_t∈[1,+∞)时，对应于保险公司获得新业务。

财富过程w_{t+1}={(w_t-\pi_t) r_t}+{\pi_t R_t}+\ c_t-\delta(q_t)-q_t z_t

假设无风险资产收益率为r_t为会随时间变化的常数，风险资产收益率为R_t服从均值和方差分别为\mu_t\，\sigma_t^2\的正态分布

保险公司的决策目标是追求自身终端财富的最大化。假设U(∙)是严格递增严格凹的函数，即U'(∙)>0且U''(∙)<0，表示保险公司的效用函数。定义保险公司在终端时刻T的期望财富效用为J(u)≜E[U(W_T )]

保险公司面临的优化问题是选择可行投资与再保险策略u，使得sup┬(u∈Π) J(u)=J(u^* )

保险公司的效用满足如下指数效用函数，即U(w)=K-D \mathrm{e}^{-\gamma w}

基于上述条件，用倒推法和一阶最优化准则计算保险公司的最优策略和值函数在t=T-1时的表达式

根据贝尔曼方程，保险公司在时刻t的值函数为：

J_t(u_t)=E[U(w_T)|u_t]

其中，w_T为时刻T的财富，u_t为时刻t的投资与再保险策略。

考虑时刻T-1，根据贝尔曼方程，有：

J_{T-1}(u_{T-1})=E[U(w_T)|u_{T-1}]

将w_T的表达式代入上式，得：

J_{T-1}(u_{T-1})=E[U((w_{T-1}-\pi_{T-1})r_{T-1}+\pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})|u_{T-1}]

根据期望的线性性，上式可以拆分为：

J_{T-1}(u_{T-1})=E[U((w_{T-1}-\pi_{T-1})r_{T-1}+\pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})]+E[U'(w_T)|u_{T-1}]E[w_T|u_{T-1}]

其中，第一项为当前时刻的效用，第二项为下一时刻的效用的期望值，E[w_T|u_{T-1}]为下一时刻的财富的期望值，可以根据w_T的表达式计算出来。

考虑第一项，根据效用函数U(w)=K-D \mathrm{e}^{-\gamma w}，有：

U((w_{T-1}-\pi_{T-1})r_{T-1}+\pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})=K-D \mathrm{e}^{-\gamma ((w_{T-1}-\pi_{T-1})r_{T-1}+\pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}

将上式代入J_{T-1}(u_{T-1})的表达式，得：

J_{T-1}(u_{T-1})=E[K-D \mathrm{e}^{-\gamma ((w_{T-1}-\pi_{T-1})r_{T-1}+\pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}]+E[U'(w_T)|u_{T-1}]E[w_T|u_{T-1}]

由于U(w)是严格递增严格凹的函数，即U'(w)>0且U''(w)<0，因此U'(w_T)>0。又因为财富效用函数是连续可导的，根据一阶最优化准则，当U'(w_T)=0时，w_T取最优值。因此，我们可以通过求解U'(w_T)=0得到最优的财富值w_T^*。

将w_T^*代入上式，得到：

J_{T-1}(u_{T-1})=K-D \mathrm{e}^{-\gamma ((w_{T-1}-\pi_{T-1})r_{T-1}+\pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}+U'(w_T^*)E[w_T|u_{T-1}]

由于U(w)是指数函数，U'(w)=\gamma D \mathrm{e}^{-\gamma w}，因此U'(w_T^)=\gamma D \mathrm{e}^{-\gamma w_T^}。

将U'(w_T^*)和E[w_T|u_{T-1}]代入上式，得到：

J_{T-1}(u_{T-1})=K-D \mathrm{e}^{-\gamma ((w_{T-1}-\pi_{T-1})r_{T-1}+\pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}+\gamma D \mathrm{e}^{-\gamma w_T^*}E[(w_{T-1}-\pi_{T-1})r_{T-1}+\pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1}|u_{T-1}]

上式为时刻T-1的值函数的表达式，可以通过倒推法逐步计算出时刻0的值函数，进而得到最优策略和最优值函数。