保险公司投资策略的最优解：基于指数效用函数的倒推法

本文使用倒推法和一阶最优化准则，推导出保险公司在指数效用函数下的投资策略最优解。该模型考虑了风险资产和无风险资产的收益率，以及再保险和新业务的影响。

已知条件：

考虑下面的离散有限时间 T 期模型，假设无风险资产在第 t 期即时间段 (t, t+1] 的收益率为 r_t，风险资产在第 t 期即时间段 (t, t+1] 的收益率为 R_t， t=0, 1, ⋯, T-1。
假设保险公司的初始财富为 w_0，令 \pi_t 表示保险公司在时刻 t 投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t 表示保险公司在时刻 t 所收取的保费，z_t 为其在时刻 t 所需支出的索赔金额，z_t 和 R_t 相互独立（一般来讲，保险公司的索赔与证券资产收益率是相互独立的），且假定 z_t 在各阶段的期望和方差分别为 \alpha_t \，\beta_t^2。
用风险暴露值 q_t ∈ [0,+∞) 表示保险公司购买比例再保险或获取新业务程度。当 q_t ∈ [0,1] 时，对应于购买了一份比例再保险，此时保险公司承担 100q_t% 比例的风险，再保险公司承担剩下 100(1-q_t )% 比例的风险，支付的保费率为 \delta\left(q_t\right)=\left(1+\theta_t\right)\left(1-q_t\right) \alpha_t，其中 \theta_t 为再保险公司的安全负荷系数；当 q_t ∈ [1,+∞) 时，对应于保险公司获得新业务。
财富过程 w_{t+1}=\left(w_t-\pi_t\right) r_t+\pi_t R_t+ c_t-\delta\left(q_t\right)-q_t z_t
假设无风险资产收益率为 r_t 为会随时间变化的常数，风险资产收益率为 R_t 服从均值和方差分别为 \mu_t=E[R_t]，\sigma_t^2=Var[R_t] 的正态分布。
保险公司的决策目标是追求自身终端财富的最大化。假设 U(∙) 是严格递增严格凹的函数，即 U'(∙)>0 且 U''(∙)<0，表示保险公司的效用函数。定义保险公司在终端时刻 T 的期望财富效用为 J(u)≜E[U(W_T )]
保险公司面临的优化问题是选择可行投资与再保险策略 u，使得 sup┬(u∈Π) J(u)=J(u^* )
保险公司的效用满足如下指数效用函数，即 U(w)=K-D \mathrm{e}^{-\gamma w}

计算保险公司投资策略在 t=T-1 时的表达式：

根据倒推法，从终端时刻 T-1 开始逆推，设在时刻 T-1 时，保险公司的财富为 w_{T-1}，投资于风险资产的比例为 \pi_{T-1}，则有：

J(u)=E[U(W_T )]=E[U((w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}R_T+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})r_T+w_{T-1}(1-\pi_{T-1}))]

根据正态分布的性质，R_T 服从正态分布，则有：

E[U((w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}R_T+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})r_T+w_{T-1}(1-\pi_{T-1}))]= \int_{-\infty}^{+\infty}U((w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})r+w_{T-1}(1-\pi_{T-1}))\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_T}\mathrm{e}^{-\frac{(r-\mu_T)^2}{2\sigma_T^2}}\mathrm{d}r

将指数效用函数代入上式，得到：

E[U((w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}R_T+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})r_T+w_{T-1}(1-\pi_{T-1}))]=K-D\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\gamma((w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})r+w_{T-1}(1-\pi_{T-1}))}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_T}\mathrm{e}^{-\frac{(r-\mu_T)^2}{2\sigma_T^2}}\mathrm{d}r

由于效用函数是严格递增严格凹的，所以 J(u) 也是严格凸的，因此存在唯一的最优投资策略 u^，使得 J(u^)=sup┬(u∈Π) J(u)。

根据一阶最优化准则，对 J(u) 求导并令导数为 0，得到：

\frac{\partial J(u)}{\partial \pi_{T-1}}=E[\frac{\partial U(W_T)}{\partial W_T}\frac{\partial W_T}{\partial \pi_{T-1}}]=E[\gamma r_T(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}R_T+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})\mathrm{e}^{-\gamma(W_T)}(R_T-1)]=0

化简得到：

E[(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}R_T+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})(R_T-1)\mathrm{e}^{-\gamma(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}R_T+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})\mathrm{e}^{-\gamma{\pi_{T-1}}R_T}]=0

由于 R_T 服从正态分布，则有：

\int_{-\infty}^{+\infty}(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})(r-1)\mathrm{e}^{-\gamma(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_T}\mathrm{e}^{-\frac{(r-\mu_T)^2}{2\sigma_T^2}}\mathrm{d}r=0

对上式求导并令导数为 0，得到：

\frac{\partial}{\partial \pi_{T-1}}\int_{-\infty}^{+\infty}(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})(r-1)\mathrm{e}^{-\gamma(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_T}\mathrm{e}^{-\frac{(r-\mu_T)^2}{2\sigma_T^2}}\mathrm{d}r=0

化简得到：

\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial \pi_{T-1}}((w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})(r-1)\mathrm{e}^{-\gamma(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_T}\mathrm{e}^{-\frac{(r-\mu_T)^2}{2\sigma_T^2}}\mathrm{d}r=0

化简得到：

\int_{-\infty}^{+\infty}(\frac{\partial}{\partial \pi_{T-1}}{\pi_{T-1}}(r-1)-\frac{\partial}{\partial \pi_{T-1}}(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1}))\mathrm{e}^{-\gamma(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_T}\mathrm{e}^{-\frac{(r-\mu_T)^2}{2\sigma_T^2}}\mathrm{d}r=0

化简得到：

\int_{-\infty}^{+\infty}(-r+\frac{\partial}{\partial \pi_{T-1}}(w_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1}))\mathrm{e}^{-\gamma(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_T}\mathrm{e}^{-\frac{(r-\mu_T)^2}{2\sigma_T^2}}\mathrm{d}r=0

由于积分号内的函数是正态分布的密度函数，积分结果为 0 当且仅当被积函数在积分区间内恒等于 0，因此有：

\frac{\partial}{\partial \pi_{T-1}}(w_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})=\frac{1}{\gamma}\int_{-\infty}^{+\infty}r\mathrm{e}^{-\gamma(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}r+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_T}\mathrm{e}^{-\frac{(r-\mu_T)^2}{2\sigma_T^2}}\mathrm{d}r

化简得到：

\frac{\partial}{\partial \pi_{T-1}}(w_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})=\frac{1}{\gamma}\mathrm{e}^{-\gamma(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}\mu_T+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}\int_{-\infty}^{+\infty}r\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_T}\mathrm{e}^{-\frac{(r-(\mu_T-\frac{\gamma{\pi_{T-1}}\sigma_T^2}{\gamma{\pi_{T-1}}\sigma_T^2+1})(w_{T-1}-\pi_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})-\frac{\gamma{\pi_{T-1}}\mu_T\sigma_T^2}{\gamma{\pi_{T-1}}\sigma_T^2+1})^2}{2\sigma_T^2}}\mathrm{d}r

由于正态分布的期望为其均值，即 E[R_T]=\mu_T，因此可得：

\frac{\partial}{\partial \pi_{T-1}}(w_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})=\frac{1}{\gamma}\mathrm{e}^{-\gamma(w_{T-1}-\pi_{T-1}+{\pi_{T-1}}\mu_T+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}(\mu_T-\frac{\gamma{\pi_{T-1}}\sigma_T^2}{\gamma{\pi_{T-1}}\sigma_T^2+1})(w_{T-1}-\pi_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})-\frac{\gamma{\pi_{T-1}}\mu_T\sigma_T^2}{\gamma{\pi_{T-1}}\sigma_T^2+1}

令上式等于 0，解得：

{\pi_{T-1}}=\frac{\mu_T\sigma_T^2}{\gamma(\mu_T\sigma_T^2-1)}(\frac{w_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1}}{\mu_T}-1)

因此，在 t=T-1 时，保险公司的最优投资策略为：

{\pi_{T-1}}=\frac{\mu_T\sigma_T^2}{\gamma(\mu_T\sigma_T^2-1)}(\frac{w_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1}}{\mu_T}-1)