离散有限时间保险公司投资与再保险策略的最优解：倒推法和一阶最优化准则

根据倒推法，我们从终端时刻T开始，逐步倒推到时刻0，考虑每个时刻t的最优决策。

首先，考虑时刻T-1。在时刻T-1，保险公司的财富为w_{T-1}，需要选择投资于风险资产的比例\pi_{T-1}来最大化终端时刻T的期望财富效用。根据一阶最优化准则，我们有：

\frac{\partial J(u)}{\partial u}\bigg|{u=u^*}=\frac{\partial E[U(W_T)]}{\partial W_T}\frac{\partial W_T}{\partial \pi{T-1}}\frac{\partial \pi_{T-1}}{\partial u}\bigg|_{u=u^*}=0

其中，W_T是终端时刻T的财富。根据财富过程，我们有：

W_T=(w_{T-1}-\pi_{T-1})r_{T-1}+\pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-\delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1}

对W_T求偏导数，有：

\frac{\partial W_T}{\partial \pi_{T-1}}=r_{T-1}+R_{T-1}

将上述两个式子代入一阶最优化准则，有：

\frac{\partial E[U(W_T)]}{\partial W_T}(r_{T-1}+R_{T-1})\frac{\partial \pi_{T-1}}{\partial u}\bigg|_{u=u^*}=0

由于U(w)是严格递增严格凹的指数效用函数，U'(w)=-\gamma K \mathrm{e}^{-\gamma w}，U''(w)=\gamma^2 K \mathrm{e}^{-\gamma w}<0，因此，U'(W_T)=-\gamma K \mathrm{e}^{-\gamma W_T}，U''(W_T)=\gamma^2 K \mathrm{e}^{-\gamma W_T}<0。根据一阶最优化准则，我们有：

U'(W_T)=\lambda (r_{T-1}+R_{T-1})

其中，\lambda为拉格朗日乘子。将U'(W_T)代入，有：

-\gamma K \mathrm{e}^{-\gamma W_T}=\lambda (r_{T-1}+R_{T-1})

解出\lambda，有：

\lambda=-\frac{\gamma K \mathrm{e}^{-\gamma W_T}}{r_{T-1}+R_{T-1}}

将\lambda代入一阶最优化准则，有：

\frac{\partial \pi_{T-1}}{\partial u}\bigg|{u=u^*}=\frac{\delta(q{T-1})-c_{T-1}+q_{T-1}z_{T-1}+\pi_{T-1}(r_{T-1}-R_{T-1})}{(r_{T-1}+R_{T-1})\alpha_{T-1}(1+\theta_{T-1})\gamma K \mathrm{e}^{-\gamma W_T}}

因此，在t=T-1时刻，保险公司的最优投资比例为：

\pi_{T-1}=\frac{(r_{T-1}+R_{T-1})\alpha_{T-1}(1+\theta_{T-1})\gamma K \mathrm{e}^{-\gamma W_T}}{\delta(q_{T-1})-c_{T-1}+q_{T-1}z_{T-1}+\pi_{T-1}(r_{T-1}-R_{T-1})}