保险公司再保险策略的最优解 - 倒推法求解 T-1 时刻的 q_t 表达式

首先，根据倒推法，我们可以得到终端时刻 T 的目标函数： J(u) = E[U(W_T)] = E[K - D * e^(-γ * W_T)] 将财富过程代入可得： J(u) = E[K - D * e^(-γ * ((w_{T-1} - π_{T-1}) * r_{T-1} + π_{T-1} * R_{T-1} + c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - q_{T-1} * z_{T-1}))] 由于 R_{T-1} 服从正态分布，所以可以使用随机积分的方法将其积分掉，得到： J(u) = K - D * e^(-γ * ((w_{T-1} - π_{T-1}) * r_{T-1} + μ_{T-1} + (1/2) * σ_{T-1}^2) - γ * E[e^(-γ * (c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - q_{T-1} * z_{T-1}))]} 接下来，我们需要求解关于 q_{T-1} 的一阶条件，即： (∂J(u))/(∂q_{T-1}) = 0 将 J(u) 代入可得： (∂)/(∂q_{T-1})(K - D * e^(-γ * ((w_{T-1} - π_{T-1}) * r_{T-1} + μ_{T-1} + (1/2) * σ_{T-1}^2) - γ * E[e^(-γ * (c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - q_{T-1} * z_{T-1})])) = 0 化简可得： D * γ * E[z_{T-1} * e^(-γ * (c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - q_{T-1} * z_{T-1}))] * (∂)/(∂q_{T-1})(δ(q_{T-1})) = 0 由于 D, K, γ, c_{T-1}, z_{T-1} 都是常数，所以可以化简为： E[z_{T-1} * e^(-γ * (c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - q_{T-1} * z_{T-1}))] * (∂)/(∂q_{T-1})(δ(q_{T-1})) = 0 由于 U(∙) 是严格递增严格凹的函数，所以可得： (∂)/(∂q_{T-1})(δ(q_{T-1})) < 0 因此，我们得到了 q_{T-1} 在 t = T-1 时的表达式： q_{T-1} = (α_{T-1})/(β_{T-1}^2) * (1 + θ_{T-1} - (1/γ) * ln(E[e^(-γ * (c_{T-1} - δ(q_{T-1}) - q_{T-1} * z_{T-1}))] / α_{T-1}))