保险公司再保险策略优化问题：倒推法求解T-1时刻再保险策略

下列是已知条件：考虑下面的离散有限时间T期模型，假设无风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为r_t，风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为R_t， t=0,1,⋯,T-1。假设保险公司的初始财富为w_0，令/pi_t表示保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t表示保险公司在时刻t所收取的保费，z_t为其在时刻t所需支出的索赔金额，z_t和R_t相互独立（一般来讲，保险公司的索赔与证券资产收益率是相互独立的），且假定z_t在各阶段的期望和方差分别为/alpha_t/，/beta_t^2/n用风险暴露值q_t∈[0,+∞)表示保险公司购买比例再保险或获取新业务程度。当q_t∈[0,1]时，对应于购买了一份比例再保险，此时保险公司承担100q_t%比例的风险，再保险公司承担剩下 100(1-q_t )%比例的风险。支付的保费率为/delta/left(q_t/right)=/left(1+/theta_t/right)/left(1-q_t/right) /alpha_t，其中/theta_t/为再保险公司的安全负荷系数；当q_t∈[1,+∞)时，对应于保险公司获得新业务。/n财富过程w_{t+1}={/left(w_t-/pi_t/right) r_t}+{/pi_t R_t}+/ c_t-/delta/left(q_t/right)-q_t z_t/n假设无风险资产收益率为r_t为会随时间变化的常数，风险资产收益率为R_t服从均值和方差分别为/mu_t/=E[R_t]，/sigma_t^2/=Var[R_t]的正态分布/n保险公司的决策目标是追求自身终端财富的最大化。假设U(∙):R→R，是严格递增严格凹的函数，即U'(∙)>0且U''(∙)<0，表示保险公司的效用函数。定义保险公司在终端时刻T的期望财富效用为J(u)≜E[U(w_T )]/n保险公司面临的优化问题是选择可行投资与再保险策略u，使得sup┬(u∈Π) J(u)=J(u^* ),Π为所有可行策略的集合/n保险公司的效用满足如下指数效用函数，即U(w)=K-D /mathrm{e}^{-/gamma w}/n基于上述条件，从T开始用倒推法、一阶最优化条件计算保险公司的再保险策略q_t在t=T-1时的表达式内容：根据倒推法，从终端时刻T开始，保险公司的目标是最大化期望财富效用J(u)。设在时刻T-1时保险公司的财富为w_{T-1}，则有：/n/nJ(u)=E[U(w_T)]=E[U((w_{T-1}-/pi_{T-1})r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})]/n/n根据正态分布的性质，R_{T-1}服从正态分布N(/mu_{T-1},/sigma_{T-1}^2)，因此可以将J(u)表示为：/n/nJ(u)=/int_{-/infty}^{+/infty}U((w_{T-1}-/pi_{T-1})r_{T-1}+/pi_{T-1}r_{T-1}+/mu_{T-1}+/delta(q_{T-1})+q_{T-1}z_{T-1})/frac{1}{/sqrt{2/pi}/sigma_{T-1}}/mathrm{e}^{-/frac{(R_{T-1}-/mu_{T-1})^2}{2/sigma_{T-1}^2}}/mathrm{d}R_{T-1}/n/n对J(u)求导，得到一阶条件：/n/n/frac{/partial J(u)}{/partial q_{T-1}}=/int_{-/infty}^{+/infty}U'(w_{T-1}r_{T-1}+(1-q_{T-1})/pi_{T-1}r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})z_{T-1}/frac{1}{/sqrt{2/pi}/sigma_{T-1}}/mathrm{e}^{-/frac{(R_{T-1}-/mu_{T-1})^2}{2/sigma_{T-1}^2}}/mathrm{d}R_{T-1}=0/n/n将U(w)代入上式，得到：/n/n-KD/gamma/int_{-/infty}^{+/infty}/mathrm{e}^{-/gamma(w_{T-1}r_{T-1}+(1-q_{T-1})/pi_{T-1}r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}/cdot z_{T-1}/frac{1}{/sqrt{2/pi}/sigma_{T-1}}/mathrm{e}^{-/frac{(R_{T-1}-/mu_{T-1})^2}{2/sigma_{T-1}^2}}/mathrm{d}R_{T-1}=0/n/n化简得：/n/n/int_{-/infty}^{+/infty}/mathrm{e}^{-/gamma(w_{T-1}r_{T-1}+(1-q_{T-1})/pi_{T-1}r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1})}/cdot z_{T-1}/frac{1}{/sqrt{2/pi}/sigma_{T-1}}/mathrm{e}^{-/frac{(R_{T-1}-/mu_{T-1})^2}{2/sigma_{T-1}^2}}/mathrm{d}R_{T-1}=/frac{KD}{/gamma}/n/n将指数函数中的指数项展开，得到：/n/n/int_{-/infty}^{+/infty}/mathrm{e}^{-/gamma(w_{T-1}r_{T-1}+(1-q_{T-1})/pi_{T-1}r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-q_{T-1}z_{T-1}-/frac{(R_{T-1}-/mu_{T-1})^2}{2/sigma_{T-1}^2}}/cdot z_{T-1}/frac{1}{/sqrt{2/pi}/sigma_{T-1}}/mathrm{d}R_{T-1}=/frac{KD}{/gamma}/n/n对指数函数中的二次项进行配方，得到：/n/n/int_{-/infty}^{+/infty}/mathrm{e}^{-/gamma(w_{T-1}r_{T-1}+(1-q_{T-1})/pi_{T-1}r_{T-1}+/pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-/delta(q_{T-1})-/frac{(R_{T-1}-/mu_{T-1})^2}{2/sigma_{T-1}^2}}/cdot z_{T-1}/frac{1}{/sqrt{2/pi}/sigma_{T-1}}/mathrm{e}^{-/frac{(q_{T-1}z_{T-1}-/gamma/sigma_{T-1}^2)^2}{2/gamma^2/sigma_{T-1}^2}}/mathrm{d}R_{T-1}=/frac{KD}{/gamma}/n/n将指数函数中的一次项与二次项分别配方，得到：/n/n/int_{-/infty}^{+/infty}/mathrm{e}^{-/frac{(R_{T-1}-/mu_{T-1})^2}{2/sigma_{T-1}^2}}/cdot/mathrm{e}^{/frac{/gamma/pi_{T-1}z_{T-1}R_{T-1}}{/sigma_{T-1}^2}}/cdot/mathrm{e}^{-/gamma(w_{T-1}r_{T-1}+(1-q_{T-1})/pi_{T-1}r_{T-1}+/frac{/gamma^2/sigma_{T-1}^2}{2}+/frac{/gamma/pi_{T-1}z_{T-1}/mu_{T-1}}{/sigma_{T-1}^2}-/delta(q_{T-1})-/frac{/gamma^2/sigma_{T-1}^2}{2}-/frac{(q_{T-1}z_{T-1}-/gamma/sigma_{T-1}^2)^2}{2/gamma^2/sigma_{T-1}^2}}/cdot z_{T-1}/frac{1}{/sqrt{2/pi}/sigma_{T-1}}/mathrm{d}R_{T-1}=/frac{KD}{/gamma}/n/n将指数函数中的一次项与二次项分别配方，得到：/n/n/int_{-/infty}^{+/infty}/mathrm{e}^{-/frac{(R_{T-1}-/mu_{T-1}+/frac{/gamma/pi_{T-1}z_{T-1}/sigma_{T-1}^2}{/gamma^2/sigma_{T-1}^2+/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2})^2}{2/sigma_{T-1}^2+/frac{/gamma^2/sigma_{T-1}^2/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}{/gamma^2/sigma_{T-1}^2+/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}}}/cdot/mathrm{e}^{-/gamma(w_{T-1}r_{T-1}+(1-q_{T-1})/pi_{T-1}r_{T-1}+/frac{/gamma/pi_{T-1}z_{T-1}/mu_{T-1}}{/sigma_{T-1}^2}-/delta(q_{T-1})-/frac{(q_{T-1}z_{T-1}-/gamma/sigma_{T-1}^2)^2}{2/gamma^2/sigma_{T-1}^2}}/cdot z_{T-1}/frac{1}{/sqrt{2/pi}/sqrt{/sigma_{T-1}^2+/frac{/gamma^2/sigma_{T-1}^2/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}{/gamma^2/sigma_{T-1}^2+/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}}}/mathrm{d}R_{T-1}=/frac{KD}{/gamma}/n/n根据正态分布的性质，上式中的积分可以通过标准正态分布的累积分布函数求解，得到：/n/n/Phi/left(/frac{/mu_{T-1}-/frac{/gamma/pi_{T-1}z_{T-1}/sigma_{T-1}^2}{/gamma^2/sigma_{T-1}^2+/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}}{/sqrt{/sigma_{T-1}^2+/frac{/gamma^2/sigma_{T-1}^2/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}{/gamma^2/sigma_{T-1}^2+/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}}}/right)/cdot/mathrm{e}^{-/gamma(w_{T-1}r_{T-1}+(1-q_{T-1})/pi_{T-1}r_{T-1}+/frac{/gamma/pi_{T-1}z_{T-1}/mu_{T-1}}{/sigma_{T-1}^2}-/delta(q_{T-1})-/frac{(q_{T-1}z_{T-1}-/gamma/sigma_{T-1}^2)^2}{2/gamma^2/sigma_{T-1}^2}}/cdot z_{T-1}/frac{1}{/sqrt{2/pi}/sqrt{/sigma_{T-1}^2+/frac{/gamma^2/sigma_{T-1}^2/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}{/gamma^2/sigma_{T-1}^2+/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}}}=/frac{KD}{/gamma}/n/n将上式中的累积分布函数记为/Phi(x)，则一阶条件可以表示为：/n/n/Phi/left(/frac{/mu_{T-1}-/frac{/gamma/pi_{T-1}z_{T-1}/sigma_{T-1}^2}{/gamma^2/sigma_{T-1}^2+/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}}{/sqrt{/sigma_{T-1}^2+/frac{/gamma^2/sigma_{T-1}^2/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}{/gamma^2/sigma_{T-1}^2+/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}}}/right)=/frac{KD}{/gamma z_{T-1}/sqrt{2/pi}/sqrt{/sigma_{T-1}^2+/frac{/gamma^2/sigma_{T-1}^2/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}{/gamma^2/sigma_{T-1}^2+/pi_{T-1}^2z_{T-1}^2}}}/cdot/mathrm{e}^{/gamma(w_{T-1}r_{T-1}+(1-q_{T-1})/pi_{T-1}r_{T-1}+/frac{/gamma/pi_{T-1}z_{T-1}/mu_{T-1}}{/sigma_{T-1}^2}-/delta(q_{T-1})-/frac{(q_{T-1}z_{T-1}-/gamma/sigma_{T-1}^2)^2}{2/gamma^2/sigma_{T-1}^2}}}/n/n将上式中的左侧记为f(x)，右侧记为g(x)，则一阶条件可以表示为：/n/nf(x^)=g(x^)/n/n其中，x^为方程f(x)=g(x)的解。由于f(x)和g(x)都是单调递增的函数，因此方程f(x)=g(x)至少存在一个解。可以通过数值方法求解方程f(x)=g(x)，得到x^，进而得到再保险策略q_{T-1}的表达式。/n