保险公司最优投资与再保险策略的动态规划分析

下列是已知条件：考虑下面的离散有限时间T期模型，假设无风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为r_t，风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为R_t， t=0,1,⋯,T-1。假设保险公司的初始财富为w_0，令u_t表示保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t表示保险公司在时刻t所收取的保费，z_t为其在时刻t所需支出的索赔金额，z_t和R_t相互独立（一般来讲，保险公司的索赔与证券资产收益率是相互独立的），且假定z_t在各阶段的期望和方差分别为alpha_t=E[z_t]，beta_t^2=Var[z_t]/n支付的保费率为//delta//left(q_t//right)=//left(1+//theta_t//right)//left(1-q_t//right) //alpha_t，其中theta_t为再保险公司的安全负荷系数；/n财富过程w_{t+1}=//left(W_t-//pi_t//right) r_t+//pi_t R_t+// c_t-//delta//left(q_t//right)-q_t z_t/n假设无风险资产收益率为r_t为会随时间变化的常数，风险资产收益率为R_t服从均值和方差分别为mu_t=E[R_t]，sigma_t^2=Var[R_t]的正态分布/n/n保险公司的效用满足如下指数效用函数，即V(w)=K-D //mathrm{e}^{-//gamma w}，gamma是绝对风险厌恶系数，K、D为常数/n问题：基于上述条件，利用动态规划原理写出优化问题对应的离散时间HJB方程，并利用HJB方程进行倒推运算分析保险公司，分析保险公司在第T-1期的最优投资与再保险问题/n内容：根据动态规划原理，保险公司在每个时期都会选择最优的投资与再保险策略，使得其效用最大化。因此，我们可以利用HJB方程来描述保险公司的最优决策问题。/n/n设V(w,t)为在时刻t时保险公司财富为w时的最大效用，HJB方程为：/n/n$$/max_{u_t,q_t}//left//{//frac{//partial V(w,t)}{//partial t}+//gamma V(w,t)-//frac{1}{2}//sigma_t^2 u_t^2 //frac{//partial^2 V(w,t)}{//partial w^2}//right//}=0$$ /n/n其中，u_t为保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额，q_t为在时刻t选择的再保险比例，sigma_t为风险资产收益率的标准差。/n/n根据离散时间HJB方程的形式，我们可以进行倒推运算，得到保险公司在第T-1期的最优投资与再保险策略。具体来说，我们可以从时刻T-1开始，逐步向前推导出每个时刻的最优决策。/n/n在第T-1期，保险公司的财富为w_{T-1}，根据HJB方程，我们有：/n/n$$/max_{u_{T-1},q_{T-1}}//left//{//gamma V(w_{T-1},T-1)-//frac{1}{2}//sigma_{T-1}^2 u_{T-1}^2 //frac{//partial^2 V(w_{T-1},T-1)}{//partial w^2}-//frac{//partial V(w_{T-1},T-1)}{//partial t}//right//}=0$$ /n/n根据保险公司的财富过程，我们可以得到：/n/n$$w_T=//left(w_{T-1}-//pi_{T-1}//right)r_{T-1}+//pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-//delta//left(q_{T-1}//right)-q_{T-1}z_{T-1}$$ /n/n因此，在第T-1期，保险公司的最优决策问题可以表示为：/n/n$$/max_{u_{T-1},q_{T-1}}//left//{//gamma V(w_{T-1},T-1)-//frac{1}{2}//sigma_{T-1}^2 u_{T-1}^2 //frac{//partial^2 V(w_{T-1},T-1)}{//partial w^2}-//frac{//partial V(w_{T-1},T-1)}{//partial t}//right//}$$ /n/n$$s.t.// w_T=//left(w_{T-1}-//pi_{T-1}//right)r_{T-1}+//pi_{T-1}R_{T-1}+c_{T-1}-//delta//left(q_{T-1}//right)-q_{T-1}z_{T-1}$$ /n/n在得到第T-1期的最优决策后，我们可以利用同样的方法，逐步向前推导出每个时刻的最优决策，直到得到第0期的最优决策为止。