保险公司最优投资与再保险策略的动态规划分析

保险公司最优投资与再保险策略的动态规划分析

已知条件：

考虑下面的离散有限时间T期模型，假设无风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为r_t，风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为R_t， t=0,1,⋯,T-1。假设保险公司的初始财富为w_0，令u_t表示保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t表示保险公司在时刻t所收取的保费，z_t为其在时刻t所需支出的索赔金额，z_t和R_t相互独立（一般来讲，保险公司的索赔与证券资产收益率是相互独立的），且假定z_t在各阶段的期望和方差分别为alpha_t=E[z_t]，beta_t^2=Var[z_t]

支付的保费率为\delta\left(q_t\right)=\left(1+\theta_t\right)\left(1-q_t\right) \alpha_t，其中theta_t为再保险公司的安全负荷系数；

财富过程w_{t+1}=\left(W_t-\pi_t\right) r_t+\pi_t R_t+\ c_t-\delta\left(q_t\right)-q_t z_t

假设无风险资产收益率为r_t为会随时间变化的常数，风险资产收益率为R_t服从均值和方差分别为mu_t=E[R_t]，sigma_t^2=Var[R_t]的正态分布

保险公司的均衡策略为

投资策略:\hat{\pi}t=\frac{\mu_t-r_t}{\prod{i=t+1}^{T-1} r_i \gamma \sigma_t^2}

再保险策略:\hat{q}t=\frac{\theta_t \alpha_t}{\prod{i=t+1}^{T-1} r_i \gamma \beta_t^2}

保险公司的效用满足如下指数效用函数，即V(w)=K-D \mathrm{e}^{-\gamma w}，gamma是绝对风险厌恶系数

问题：

基于上述条件，利用动态规划原理写出优化问题对应的离散时间HJB方程，并利用HJB方程进行倒推运算分析保险公司，分析保险公司在第T-1期的最优投资与再保险问题

内容：

根据动态规划原理，我们可以得到保险公司在第$t$期的HJB方程为：

$$\begin{aligned}V_t(w_t)& = \max_{\pi_t,q_t}{\mathbb{E}t[V{t+1}(w_{t+1})]}\& = \max_{\pi_t,q_t}{\mathbb{E}t[V{t+1}((w_t-\pi_t r_t+\pi_t R_t+c_t-\delta(q_t)-q_t z_t)e^{-\gamma})]}\& = \max_{\pi_t,q_t}{\mathbb{E}t[K-D e^{-\gamma(w_t-\pi_t r_t+\pi_t R_t+c_t-\delta(q_t)-q_t z_t)}]}\& = \max{\pi_t,q_t}{K-D e^{-\gamma w_t}\mathbb{E}t[e^{-\gamma(\pi_t R_t-\pi_t r_t+\delta(q_t)+q_t z_t-c_t)}]}\& = \max{\pi_t,q_t}{K-D e^{-\gamma w_t}\mathbb{E}t[e^{-\gamma\pi_t R_t}e^{\gamma\pi_t r_t-\gamma\delta(q_t)-\gamma q_t z_t+\gamma c_t}]}\& = \max{\pi_t,q_t}{K-D e^{-\gamma w_t}\mathbb{E}t[e^{-\gamma\pi_t R_t+\gamma\pi_t r_t-\gamma\delta(q_t)-\gamma q_t z_t}]}\& = \max{\pi_t,q_t}{K-D e^{-\gamma w_t}\int_{-\infty}^\infty e^{-\gamma\pi_t R_t+\gamma\pi_t r_t-\gamma\delta(q_t)-\gamma q_t z_t} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_t}e^{-\frac{(R_t-\mu_t)^2}{2\sigma_t^2}}\mathrm{d}R_t}\& = \max_{\pi_t,q_t}{K-D e^{-\gamma w_t}\int_{-\infty}^\infty e^{-\gamma\pi_t R_t+\gamma\pi_t r_t-\gamma\delta(q_t)-\gamma q_t z_t-\frac{(R_t-\mu_t)^2}{2\sigma_t^2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_t}\mathrm{d}R_t}\\end{aligned}$$

我们可以通过对$\pi_t$和$q_t$求导，得到最优投资和再保险策略：

$$\begin{aligned}\hat{\pi}_t& = \frac{\mu_t-r_t}{\gamma \sigma_t^2}\\hat{q}_t& = \frac{\theta_t \alpha_t}{\gamma \beta_t^2}\end{aligned}$$

将最优策略带入HJB方程，可以得到：

$$\begin{aligned}V_t(w_t)& = K-D e^{-\gamma w_t}\int_{-\infty}^\infty e^{-\gamma\hat{\pi}_t R_t+\gamma\hat{\pi}_t r_t-\gamma\delta(\hat{q}_t)-\gamma \hat{q}t z_t-\frac{(R_t-\mu_t)^2}{2\sigma_t^2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_t}\mathrm{d}R_t\& = K-D e^{-\gamma w_t}\int{-\infty}^\infty e^{-\frac{\gamma}{2\sigma_t^2}(R_t-\mu_t+\frac{\sigma_t^2(\hat{\pi}_t r_t-\delta(\hat{q}_t)-\hat{q}_t z_t)}{\gamma})^2-\frac{\gamma}{2\sigma_t^2}(\hat{\pi}_t r_t-\delta(\hat{q}_t)-\hat{q}_t z_t)^2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_t}\mathrm{d}R_t\& = K-D e^{-\gamma w_t}e^{-\frac{\gamma}{2\sigma_t^2}(\hat{\pi}_t r_t-\delta(\hat{q}_t)-\hat{q}t z_t)^2}\int{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_t}e^{-\frac{\gamma}{2\sigma_t^2}(R_t-\mu_t+\frac{\sigma_t^2(\hat{\pi}_t r_t-\delta(\hat{q}_t)-\hat{q}_t z_t)}{\gamma})^2}\mathrm{d}R_t\& = K-D e^{-\gamma w_t}e^{-\frac{\gamma}{2\sigma_t^2}(\hat{\pi}_t r_t-\delta(\hat{q}_t)-\hat{q}_t z_t)^2}\end{aligned}$$

因此，保险公司在第$T-1$期的最优投资和再保险策略分别为：

$$\begin{aligned}\hat{\pi}{T-1}& = \frac{\mu{T-1}-r_{T-1}}{\gamma \sigma_{T-1}^2}\\hat{q}{T-1}& = \frac{\theta{T-1} \alpha_{T-1}}{\gamma \beta_{T-1}^2}\end{aligned}$$

最优效用为：

$$V_{T-1}(w_{T-1})=K-D e^{-\gamma w_{T-1}}e^{-\frac{\gamma}{2\sigma_{T-1}^2}(\hat{\pi}{T-1} r{T-1}-\delta(\hat{q}{T-1})-\hat{q}{T-1} z_{T-1})^2}