离散有限时间保险公司财富过程的效用函数分析

下列是已知条件：考虑下面的离散有限时间T期模型，假设无风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为r_t，风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为R_t， t=0,1,⋯,T-1。假设保险公司的初始财富为w_0，令u_t表示保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t表示保险公司在时刻t所收取的保费，z_t为其在时刻t所需支出的索赔金额，z_t和R_t相互独立（一般来讲，保险公司的索赔与证券资产收益率是相互独立的），且假定z_t在各阶段的期望和方差分别为alpha_t=E[z_t]，beta_t^2=Var[z_t] 支付的保费率为\delta\left(q_t\right)=\left(1+\theta_t\right)\left(1-q_t\right) \alpha_t，其中theta_t为再保险公司的安全负荷系数； 财富过程w_{t+1}={\left(W_t-\pi_t\right) r_t}+{\pi_t R_t}+\ c_t-\delta\left(q_t\right)-q_t z_t 假设无风险资产收益率为r_t为会随时间变化的常数，风险资产收益率为R_t服从均值和方差分别为mu_t=E[R_t]，sigma_t^2=Var[R_t]的正态分布 保险公司的均衡策略为 投资策略:\hat{\pi}t=\frac{\mu_t-r_t}{\prod{i=t+1}^{T-1} r_i \gamma \sigma_t^2} 再保险策略:\hat{q}t=\frac{\theta_t \alpha_t}{\prod{i=t+1}^{T-1} r_i \gamma \beta_t^2} 保险公司的效用满足如下指数效用函数，即V_t(w)=K-D \mathrm{e}^{-\gamma w} 基于上述条件，求V_t(w_{T-1}) 内容：根据指数效用函数，有 V_{T-1}(w_{T-1})=K-D \mathrm{e}^{-\gamma w_{T-1}} 代入财富过程，得到 V_{T-1}(w_{T-1})=K-D \mathrm{e}^{-\gamma \left({\left(W_{T-2}-\pi_{T-2}\right) r_{T-1}}+{\pi_{T-2} R_{T-1}}+\ c_{T-1}-\delta\left(q_{T-1}\right)-q_{T-1} z_{T-1}\right)} 代入投资策略和再保险策略，有 V_{T-1}(w_{T-1})=K-D \mathrm{e}^{-\gamma \left({\left(W_{T-2}-\frac{\mu_{T-1}-r_{T-1}}{\prod_{i=T-1}^{T-1} r_i \gamma \sigma_{T-1}^2}\right) r_{T-1}}+{\frac{\mu_{T-1}-r_{T-1}}{\prod_{i=T-1}^{T-1} r_i \gamma \sigma_{T-1}^2} R_{T-1}}+\ c_{T-1}-\delta\left(\frac{\theta_{T-1} \alpha_{T-1}}{\prod_{i=T-1}^{T-1} r_i \gamma \beta_{T-1}^2}\right)-\frac{\theta_{T-1} \alpha_{T-1}}{\prod_{i=T-1}^{T-1} r_i \gamma \beta_{T-1}^2} z_{T-1}\right)} 将该式化简，得到 V_{T-1}(w_{T-1})=K-D \mathrm{e}^{-\gamma \left({W_{T-2} r_{T-1}}+{\frac{\mu_{T-1}-r_{T-1}}{\gamma \sigma_{T-1}^2}} R_{T-1}}+\ c_{T-1}-\frac{\left(1+\theta_{T-1}\right) \alpha_{T-1}}{\prod_{i=T-1}^{T-1} r_i \gamma \beta_{T-1}^2}+\frac{\theta_{T-1} \alpha_{T-1}}{\prod_{i=T-1}^{T-1} r_i \gamma \beta_{T-1}^2}\left(1-\frac{z_{T-1}}{\alpha_{T-1}}\right)\right)} 由于z_{T-1}和R_{T-1}相互独立，所以有 E\left[\mathrm{e}^{-\gamma \frac{\mu_{T-1}-r_{T-1}}{\gamma \sigma_{T-1}^2} R_{T-1}}\right]=\mathrm{e}^{-\frac{(\mu_{T-1}-r_{T-1})^2}{2\gamma^2 \sigma_{T-1}^2}} E\left[\mathrm{e}^{-\gamma \frac{\theta_{T-1} \alpha_{T-1}}{\prod_{i=T-1}^{T-1} r_i \gamma \beta_{T-1}^2}\left(1-\frac{z_{T-1}}{\alpha_{T-1}}\right)}\right]=\mathrm{e}^{-\frac{\theta_{T-1}^2 \alpha_{T-1}^2}{2\gamma^2 \beta_{T-1}^2}} 代入上式，得到 V_{T-1}(w_{T-1})=K-D \mathrm{e}^{-\gamma \left({W_{T-2} r_{T-1}}+{\frac{\mu_{T-1}-r_{T-1}}{\gamma \sigma_{T-1}^2}} R_{T-1}}+\ c_{T-1}-\frac{\left(1+\theta_{T-1}\right) \alpha_{T-1}}{\prod_{i=T-1}^{T-1} r_i \gamma \beta_{T-1}^2}+\frac{\theta_{T-1} \alpha_{T-1}}{\prod_{i=T-1}^{T-1} r_i \gamma \beta_{T-1}^2}\mathrm{e}^{-\frac{(\theta_{T-1} z_{T-1})^2}{2\gamma^2 \beta_{T-1}^2 \alpha_{T-1}^2}}\right)}