离散有限时间模型下保险公司投资与再保险策略的值函数计算

下列是已知条件：考虑下面的离散有限时间T期模型，假设无风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为r_t，风险资产在第t期即时间段(t,t+1]的收益率为R_t， t=0,1,⋯,T-1。假设保险公司的初始财富为w_0，令u_t表示保险公司在时刻t投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t表示保险公司在时刻t所收取的保费，z_t为其在时刻t所需支出的索赔金额，z_t和R_t相互独立（一般来讲，保险公司的索赔与证券资产收益率是相互独立的），且假定z_t在各阶段的期望和方差分别为alpha_t=E[z_t]，beta_t^2=Var[z_t] 支付的保费率为\delta\left(q_t\right)=\left(1+\theta_t\right)\left(1-q_t\right) \alpha_t，其中theta_t为再保险公司的安全负荷系数； 财富过程W_{t+1}={\left(W_t-\pi_t\right) r_t}+{\pi_t R_t}+\ c_t-\delta\left(q_t\right)-q_t z_t 假设无风险资产收益率为r_t为会随时间变化的常数，风险资产收益率为R_t服从均值和方差分别为mu_t=E[R_t]，sigma_t^2=Var[R_t]的正态分布 保险公司的均衡策略为 投资策略:\hat{\pi}t=\frac{\mu_t-r_t}{\prod{i=t+1}^{T-1} r_i \gamma \sigma_t^2} 再保险策略:\hat{q}t=\frac{\theta_t \alpha_t}{\prod{i=t+1}^{T-1} r_i \gamma \beta_t^2} 保险公司的效用满足如下指数效用函数，即U(w)=K-D \mathrm{e}^{-\gamma w} 基于上述条件，用倒推法，分别计算保险公司投资策略与再保险策略的值函数V_t(w_t)的表达式内容：首先，根据财富过程可以得到 $$\nW_t = \prod_{i=0}^{t-1} \frac{\pi_i R_i + c_i - \delta(q_i) - q_i z_i}{r_i} + w_0 \prod_{i=0}^{t-1} \frac{1}{r_i} - \sum_{i=0}^{t-1} \frac{\pi_i}{r_i} \prod_{j=i+1}^{t-1} \frac{R_j}{r_j}\n$$\n其中，第一项表示保险公司在时刻t前的财富增长，第二项表示初始财富的贡献，第三项表示在时刻t前投资于风险资产的财富减少。

接下来，根据倒推法，考虑从时刻T-1开始逆向求解值函数。定义时刻T的值函数为$V_T(w_T) = K - D \mathrm{e}^{-\gamma w_T}$，则有 $$\nV_{T-1}(w_{T-1}) = \max_{\pi_{T-1}, q_{T-1}} \mathbb{E}{R{T-1}} \left[ V_T(W_T) \right]\n$$\n其中，$W_T$为时刻T的财富，$\mathbb{E}{R{T-1}}$表示对$R_{T-1}$的期望。代入财富过程和投资策略，可以得到 $$\n\begin{aligned}\nV_{T-1}(w_{T-1}) &= \max_{\pi_{T-1}, q_{T-1}} \mathbb{E}{R{T-1}} \left[ K - D \mathrm{e}^{-\gamma \left(\prod_{i=0}^{T-1} \frac{\pi_i R_i + c_i - \delta(q_i) - q_i z_i}{r_i} + w_0 \prod_{i=0}^{T-1} \frac{1}{r_i} - \sum_{i=0}^{T-1} \frac{\pi_i}{r_i} \prod_{j=i+1}^{T-1} \frac{R_j}{r_j} - \gamma \pi_{T-1} R_{T-1} \right)} \right] \n&= K - D \mathrm{e}^{-\gamma w_{T-1}} - \max_{\pi_{T-1}, q_{T-1}} \mathbb{E}{R{T-1}} \left[ D \mathrm{e}^{-\gamma \left(\prod_{i=0}^{T-1} \frac{\pi_i R_i + c_i - \delta(q_i) - q_i z_i}{r_i} + w_0 \prod_{i=0}^{T-1} \frac{1}{r_i} - \sum_{i=0}^{T-2} \frac{\pi_i}{r_i} \prod_{j=i+1}^{T-2} \frac{R_j}{r_j} - \gamma \pi_{T-1} R_{T-1} \right)} \right] \n&= K - D \mathrm{e}^{-\gamma w_{T-1}} - D \mathrm{e}^{-\gamma \left(\prod_{i=0}^{T-2} \frac{\hat{\pi}i R_i + c_i - \delta(\hat{q}i) - \hat{q}i \alpha_i}{r_i} + w_0 \prod{i=0}^{T-2} \frac{1}{r_i} - \sum{i=0}^{T-3} \frac{\hat{\pi}i}{r_i} \prod{j=i+1}^{T-2} \frac{R_j}{r_j} - \gamma \frac{\theta{T-1} \alpha_{T-1}}{\prod_{i=0}^{T-2} r_i \beta_{T-1}^2} \left(\mu_{T-1} - r_{T-1}\right)} \right] \n&= K - D \mathrm{e}^{-\gamma w_{T-1}} - D \mathrm{e}^{-\gamma \left(\prod_{i=0}^{T-2} \frac{\hat{\pi}i R_i + c_i - \delta(\hat{q}i) - \hat{q}i \alpha_i}{r_i} + w_0 \prod{i=0}^{T-2} \frac{1}{r_i} - \sum{i=0}^{T-3} \frac{\hat{\pi}i}{r_i} \prod{j=i+1}^{T-2} \frac{R_j}{r_j} - \gamma \frac{\theta{T-1} \alpha_{T-1}}{\prod_{i=0}^{T-2} r_i \beta_{T-1}^2} \mu_{T-1} \right)} + D \mathrm{e}^{-\gamma \left(\prod_{i=0}^{T-2} \frac{\hat{\pi}i R_i + c_i - \delta(\hat{q}i) - \hat{q}i \alpha_i}{r_i} + w_0 \prod{i=0}^{T-2} \frac{1}{r_i} - \sum{i=0}^{T-3} \frac{\hat{\pi}i}{r_i} \prod{j=i+1}^{T-2} \frac{R_j}{r_j} - \gamma \frac{\theta{T-1} \alpha_{T-1}}{\prod_{i=0}^{T-2} r_i \beta_{T-1}^2} r_{T-1} \right)} \frac{\theta_{T-1} \alpha_{T-1}}{\prod_{i=0}^{T-2} r_i \beta_{T-1}^2}\n\end{aligned}\n$$\n其中，第一行是指数效用函数的表达式，第二行是将指数效用函数中的财富表示成财富过程的形式，第三行是代入投资策略和再保险策略的表达式，第四行是将$\gamma \pi_{T-1} R_{T-1}$的贡献提取出来，第五行是将$\gamma \pi_{T-1} R_{T-1}$的贡献替换成再保险策略的表达式，第六行是将$\gamma \pi_{T-1} R_{T-1}$的贡献替换成投资策略的表达式。

类似地，可以递归地求解出时刻$t$的值函数$V_t(w_t)$的表达式。最终的结果为 $$\n\begin{aligned}\nV_t(w_t) &= K - D \mathrm{e}^{-\gamma w_t} - D \mathrm{e}^{-\gamma \left(\prod_{i=0}^{t-1} \frac{\hat{\pi}i R_i + c_i - \delta(\hat{q}i) - \hat{q}i \alpha_i}{r_i} + w_0 \prod{i=0}^{t-1} \frac{1}{r_i} - \sum{i=0}^{t-2} \frac{\hat{\pi}i}{r_i} \prod{j=i+1}^{t-1} \frac{R_j}{r_j} - \gamma \sum{i=t}^{T-1} \frac{\theta_i \alpha_i}{\prod_{j=t}^{i-1} r_j \beta_i^2} \mu_i \right)} \n&\qquad + D \mathrm{e}^{-\gamma \left(\prod_{i=0}^{t-1} \frac{\hat{\pi}i R_i + c_i - \delta(\hat{q}i) - \hat{q}i \alpha_i}{r_i} + w_0 \prod{i=0}^{t-1} \frac{1}{r_i} - \sum{i=0}^{t-2} \frac{\hat{\pi}i}{r_i} \prod{j=i+1}^{t-1} \frac{R_j}{r_j} - \gamma \sum{i=t}^{T-1} \frac{\theta_i \alpha_i}{\prod_{j=t}^{i-1} r_j \beta_i^2} r_i \right)} \sum_{i=t}^{T-1} \frac{\theta_i \alpha_i}{\prod_{j=t}^{i-1} r_j \beta_i^2}\n\end{aligned}\n$$\n其中，第一行是指数效用函数的表达式，第二行是将指数效用函数中的财富表示成财富过程的形式，其中$\gamma \sum_{i=t}^{T-1} \frac{\theta_i \alpha_i}{\prod_{j=t}^{i-1} r_j \beta_i^2}$表示再保险策略的贡献，$D \mathrm{e}^{-\gamma \left(\prod_{i=0}^{t-1} \frac{\hat{\pi}i R_i + c_i - \delta(\hat{q}i) - \hat{q}i \alpha_i}{r_i} + w_0 \prod{i=0}^{t-1} \frac{1}{r_i} - \sum{i=0}^{t-2} \frac{\hat{\pi}i}{r_i} \prod{j=i+1}^{t-1} \frac{R_j}{r_j} - \gamma \sum{i=t}^{T-1} \frac{\theta_i \alpha_i}{\prod_{j=t}^{i-1} r_j \beta_i^2} \mu_i \right)}$表示在时刻$t$投资于风险资产的财富增长，$D \mathrm{e}^{-\gamma \left(\prod_{i=0}^{t-1} \frac{\hat{\pi}i R_i + c_i - \delta(\hat{q}i) - \hat{q}i \alpha_i}{r_i} + w_0 \prod{i=0}^{t-1} \frac{1}{r_i} - \sum{i=0}^{t-2} \frac{\hat{\pi}i}{r_i} \prod{j=i+1}^{t-1} \frac{R_j}{r_j} - \gamma \sum{i=t}^{T-1} \frac{\theta_i \alpha_i}{\prod_{j=t}^{i-1} r_j \beta_i^2} r_i \right)}$表示在时刻$t$不投资于风险资产的财富增长。