洛必达法则证明详解 - 极限计算利器

洛必达法则是一个用于求解函数极限的方法，它的基本思想是将一个函数的极限转化为一个无穷小量的比值，然后利用无穷小量的性质来求解极限。/n/n具体地，设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内都有定义且 $g(x)$ 在 $x_0$ 处为 $0$，则当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，如果 $/lim_{x/to x_0}f(x)=/lim_{x/to x_0}g(x)=0$ 或 $/pm/infty$，且 $/lim_{x/to x_0}/frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在或为无穷大，则有/n/n$$/n/lim_{x/to x_0}/frac{f(x)}{g(x)}=/lim_{x/to x_0}/frac{f'(x)}{g'(x)}/n$$/n/n这就是洛必达法则。/n/n证明：/n/n设 $/lim_{x/to x_0}f(x)=/lim_{x/to x_0}g(x)=0$ 或 $/pm/infty$，且 $/lim_{x/to x_0}/frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在或为无穷大，则对于任意 $/epsilon>0$，存在 $/delta>0$，使得当 $0<|x-x_0|</delta$ 时，有/n/n$$/n/left|/frac{f'(x)}{g'(x)}-/lim_{x/to x_0}/frac{f'(x)}{g'(x)}/right|</epsilon/n$$/n/n根据拉格朗日中值定理，存在 $x_1$ 介于 $x$ 和 $x_0$ 之间，使得/n/n$$/n/frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=/frac{f'(x_1)}{g'(x_1)}/n$$/n/n由于 $/lim_{x/to x_0}g(x)=0$，所以当 $x$ 充分靠近 $x_0$ 时，$g(x)$ 与 $g(x_0)$ 同号，且 $|g(x)|<|g(x_0)|$，因此/n/n$$/n/left|/frac{f(x)}{g(x)}-/frac{f(x_0)}{g(x_0)}/right|=/left|/frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}-/frac{f'(x_1)}{g'(x_1)}/right|/leqslant/left|/frac{f'(x_1)}{g'(x_1)}-/lim_{x/to x_0}/frac{f'(x)}{g'(x)}/right|+/epsilon/n$$/n/n当 $x$ 充分靠近 $x_0$ 时，$x_1$ 也充分靠近 $x_0$，因此 $/left|/frac{f'(x_1)}{g'(x_1)}-/lim_{x/to x_0}/frac{f'(x)}{g'(x)}/right|</epsilon$，于是/n/n$$/n/lim_{x/to x_0}/frac{f(x)}{g(x)}=/frac{f(x_0)}{g(x_0)}+/lim_{x/to x_0}/frac{f'(x_1)}{g'(x_1)}=/lim_{x/to x_0}/frac{f'(x)}{g'(x)}/n$$/n/n证毕。