矩阵合同与对称矩阵：深入解析

这个结论不一定正确。两个矩阵的合同是指它们可以通过一个非奇异矩阵的相似变换相互转化，即'A=P^TBP'，其中'P'是一个非奇异矩阵。如果'A'和'B'都是对称矩阵，则它们的合同不一定是对称矩阵。

例如，考虑以下两个矩阵：

$$A=\begin{pmatrix}1&2\2&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$$

它们都是对称矩阵，但它们的合同矩阵为：

$$P^TBP=\begin{pmatrix}1&-1\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\0&1\end{pmatrix}$$

显然，这个矩阵不是对称矩阵。因此，A与B合同并不意味着A，B都是对称矩阵。