高三数学题：求定积分的值

已知函数'f(x) = 1 / (x^2 + 1)'，则'∫_0^1 f(x) dx'的值为多少？

解法一：

直接使用反三角函数公式，令'x = tan t'，则'dx = 1 / (cos^2 t) dt'，并且'x = 0'时't = 0'，'x = 1'时't = π / 4'，则有：

'∫_0^1 f(x) dx = ∫_0^(π / 4) 1 / (tan^2 t + 1) * 1 / (cos^2 t) dt = [arctan(tan t)]_0^(π / 4) = π / 4 - 0 = π / 4'

解法二：

使用分式分解，将'f(x)'写成：

'f(x) = 1 / (x^2 + 1) = 1 / ((x + i)(x - i)) = 1 / (2i) * (1 / (x + i) - 1 / (x - i))'

则有：

'∫_0^1 f(x) dx = 1 / (2i) * [ln(x + i) - ln(x - i)]_0^1 = 1 / (2i) * [ln((1 + i) / (1 - i)) - ln(-i)] = π / 4'

因为'ln(-i) = ln|i| + i arg(-i) = ln 1 + i * (-π / 2) = i * (-π / 2)'。

综上，'∫_0^1 f(x) dx = π / 4'。