哈密尔顿-雅可比-贝尔曼方程：最优控制理论的核心方程

哈密尔顿-雅可比-贝尔曼方程 (Hamilton-Jacobi-Bellman equation, HJB 方程) 是最优控制理论中的一个重要概念，描述了一个动态系统的最优控制问题。它是一个偏微分方程，用于求解最优控制问题中的最优控制策略和最优值函数。

HJB 方程的一般形式为：

$$ \frac{\partial V(x)}{\partial t} + \min_{u\in U}\left{\mathcal{L}(x,u) + \frac{\partial V(x)}{\partial x}f(x,u)\right} = 0 $$

其中，$V(x)$ 是最优值函数，$x$ 是系统状态，$t$ 是时间，$u$ 是控制输入，$U$ 是可行控制输入集合，$\mathcal{L}(x,u)$ 是系统的运动学代价函数，$f(x,u)$ 是系统的动力学方程。

HJB 方程的解决方法通常是通过数值方法，如有限元法、有限差分法、蒙特卡罗法等。在求解过程中，需要注意方程的边界条件和初始条件，以及控制输入的约束条件。

HJB 方程在控制理论、金融工程、机器人控制等领域都有广泛应用。