dxdy 等于 rdrdθ 的证明：极坐标系与直角坐标系之间的转换

这个等式涉及到极坐标系和直角坐标系之间的转换。

在极坐标系中，一个点的坐标可以用极径'r' 和极角'θ' 表示。而在直角坐标系中，同一个点的坐标可以用'x' 和'y' 表示。

假设我们要计算一个极坐标系中的面积元素'dA'，它的面积可以近似为一个矩形，其中一条边长为'r'，另一条边长为'rdθ'。这个矩形的面积为：

'dA = r * rdθ'

但是我们也可以用直角坐标系来表示这个面积元素。在直角坐标系中，这个矩形的边长分别为'dx' 和'dy'。根据三角函数的关系，我们可以得到：

'dx = rcosθdθ' 'dy = rsinθdθ'

因此，这个矩形的面积也可以表示为：

'dA = dx * dy = rcosθdθ * rsinθdθ = r^2cosθsinθdθdθ'

注意到'cosθsinθ' 可以简化为'1/2sin2θ'，因此我们有：

'dA = 1/2r^2sin2θdθdθ'

而'sin2θ' 的积分是一个常数，因此我们可以将'dθdθ' 合并为一个符号，得到：

'dA = 1/2r^2sin2θdθ^2'

这个式子与'dA = r * rdθ' 是等价的，因此我们也可以写成：

'dA = rdrdθ'

因此，'dxdy' 和'rdrdθ' 是等价的，它们之间的关系来自于极坐标系和直角坐标系之间的转换。