MATLAB Givens 变换 QR 分解代码实现

以下是一个 MATLAB 程序，用于实现 Givens 变换 QR 分解：

function [Q,R] = givens_qr(A)

% 获取矩阵 A 的大小
[m,n] = size(A);

% 初始化 Q 和 R
Q = eye(m);
R = A;

% 对于每一列
for j = 1:n
    % 对于该列下面的每一行
    for i = j+1:m
        % 计算 Givens 旋转矩阵
        [c,s] = givens(R(j,j),R(i,j));
        G = eye(m);
        G(j,j) = c;
        G(i,i) = c;
        G(i,j) = -s;
        G(j,i) = s;
        
        % 用 Givens 旋转矩阵更新 R 和 Q
        R = G*R;
        Q = Q*G';
    end
end

% 使用 Q 和 R 重构 A
A_reconstructed = Q*R;

% 检查重构的 A 是否等于原始的 A
if norm(A_reconstructed - A) > 1e-10
    warning('A 重构失败');
end

% 定义 Givens 旋转函数
function [c,s] = givens(a,b)
if b == 0
    c = sign(a);
    s = 0;
elseif abs(b) > abs(a)
    t = a/b;
    s = sign(b)/sqrt(1+t^2);
    c = s*t;
else
    t = b/a;
    c = sign(a)/sqrt(1+t^2);
    s = c*t;
end
end

end

该代码首先获取矩阵 A 的大小，然后初始化正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R。接着，使用嵌套循环遍历矩阵 A 的每一列和每一行，计算 Givens 旋转矩阵并更新 R 和 Q。最后，使用 Q 和 R 重构 A，并检查重构的 A 是否等于原始的 A。如果重构失败，则会发出警告。

Givens 旋转函数 givens(a,b) 用于计算 Givens 旋转矩阵的两个参数 c 和 s。该函数首先检查 b 是否为零。如果 b 为零，则 c 等于 a 的符号，s 等于 0。否则，根据 a 和 b 的大小，计算 t 的值，并根据 t 的值计算 c 和 s。

该代码提供了 Givens 变换 QR 分解的完整实现，并包含详细的代码注释和验证步骤，方便用户理解和使用。