p↔(q∧r) 的主析取范式和主合取范式推导

本文将介绍如何根据逻辑等价关系，推导出命题 p↔(q∧r) 的主析取范式（DNF，Disjunctive Normal Form）和主合取范式（CNF，Conjunctive Normal Form）。

1. 主析取范式 (DNF)

步骤：

等价转换: 将双条件连接词 ↔ 转换为蕴含式和合取式的组合。2. 蕴含式否定: 将蕴含式转换为析取式和否定式的组合。3. 分配律: 利用分配律展开表达式。4. 化简: 利用幂等律、交换律、结合律等化简表达式。

推导过程：

p↔(q∧r)= (p→(q∧r))∧((q∧r)→p) (等价转换)= ((¬p∨(q∧r))∧((¬q∨¬r)∨p)) (蕴含式的否定)= ((¬p∧(¬q∨¬r))∨((¬p∧p)∨((q∧r)∨p))) (分配律)= ((¬p∧(¬q∨¬r))∨(((q∧r)∨p))) (幂等律)= ((¬p∨(q∧r))∧((¬q∨¬r)∨p)) (交换律)= ((¬p∨q)∧(¬p∨r)∧((¬q∨¬r)∨p)) (分配律)= ((¬p∨q)∧(¬p∨r)∧((¬q∨p)∨(¬r∨p))) (交换律)= (¬p∨q)∧(¬p∨r)∧(¬q∨p)∧(¬r∨p) (结合律)

所以 p↔(q∧r) 的主析取范式为 (¬p∨q)∧(¬p∨r)∧(¬q∨p)∧(¬r∨p) 。

2. 主合取范式 (CNF)

步骤:

等价转换: 将双条件连接词 ↔ 转换为蕴含式和合取式的组合。2. 蕴含式否定: 将蕴含式转换为析取式和否定式的组合。3. 结合律: 利用结合律化简表达式。4. 分配律: 利用分配律展开表达式。5. 化简: 利用幂等律、交换律等化简表达式。

推导过程：

p↔(q∧r)= (p→(q∧r))∧((q∧r)→p) (等价转换)= ((¬p∨(q∧r))∧((¬q∨¬r)∨p)) (蕴含式的否定)= ((¬p∨(q∧r))∧(¬q∨¬r∨p)) (结合律)= (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨r∨¬q∨p) (结合律)= (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨¬q∨r∨p) (交换律)= (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨¬q∨r)∧(¬p∨p) (分配律)= (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨¬q∨r) (幂等律)

所以 p↔(q∧r) 的主合取范式为 (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨¬q∨r) 。

3. 主析取范式和主合取范式的区别

主析取范式 (DNF): 由多个析取项 (由文字或其否定相或) 相与构成。* 主合取范式 (CNF): 由多个合取项 (由文字或其否定相与) 相或构成。

希望本文能够帮助您理解如何推导命题的 DNF 和 CNF。