非负最小既约剩余系元素和的简单证明

本文将以简洁明了的方式证明：非负最小既约剩余系的元素和为 φ(n) * n / 2。

证明过程：

互质性质: 非负最小既约剩余系定义了所有小于 n 且与 n 互质的正整数。 2. 逆元存在: 对于任意与 n 互质的元素 x，其逆元 y 必定存在，满足 xy ≡ 1 (mod n)。3. 逆元和: 将非负最小既约剩余系中的每个元素与其逆元配对相加，每对的和模 n 等于 1。4. 负数对应: 由于 x 与 n 互质，则 -x 也与 n 互质。因此，对于每个元素 x，-x 也存在于该系中，且 x + (-x) ≡ 0 (mod n)。5. 元素和: 由步骤3和步骤4可知，所有非负最小既约剩余系中的元素两两配对相加后，得到的和模 n 等于 0。6. 元素个数: 非负最小既约剩余系中的元素个数为欧拉函数 φ(n)。7. 结论: 由于每对元素的和模 n 为 0，而共有 φ(n) 个元素，因此非负最小既约剩余系的元素和为 φ(n) * n / 2。

总结:

通过上述7个步骤，我们清晰地证明了非负最小既约剩余系的元素和公式。这一结论在数论研究中有着广泛的应用价值。