非负最小既约剩余系元素和证明：数学语言解析

非负最小既约剩余系的元素和为 'φ(n) * n / 2' 的证明如下：

设非负最小既约剩余系的元素和为 'S'，'φ(n)' 表示与 'n' 互质的正整数的个数。

首先，对于任意一个非负最小既约剩余系中的元素 'x'，与之对应的逆元 'y' 恰好也在该系中。
由于 'x' 与 'y' 相加模 'n' 后等于 '1'，所以所有元素两两相加后，得到的和模 'n' 后等于 '1' 的对数为非负最小既约剩余系中元素个数的一半，即 'φ(n)/2'。
由于 'x' 与 '-x' 相加模 'n' 后等于 '0'，所以所有元素两两相加后，得到的和模 'n' 后等于 '0' 的对数为非负最小既约剩余系中元素个数的一半，即 'φ(n)/2'。
因此，非负最小既约剩余系的元素和模 'n' 后等于 '0' 的次数为 'φ(n)/2'。
根据同余定理，如果一个整数除以 'n' 的余数为 '0'，则该整数与 'n' 同余。
由于非负最小既约剩余系中的元素和模 'n' 后等于 '0' 的次数为 'φ(n)/2'，所以非负最小既约剩余系的元素和与 'n' 同余。
因此，存在一个整数 'k'，使得非负最小既约剩余系的元素和等于 'kn'，即 'S ≡ kn (mod n)'。
由于 'S' 为非负最小既约剩余系的元素和，所以 'S' 在 '0' 到 'n-1' 之间。
综上，我们有 'S ≡ kn (mod n)' 且 '0 ≤ S < n'。
根据模运算的性质，当 '0 ≤ S < n' 时， 'S' 与 'kn' 同余的唯一解为 'S = kn'。
因此，非负最小既约剩余系的元素和为 'S = kn'，其中 'k' 是一个整数。
根据定义， 'φ(n)' 表示与 'n' 互质的正整数的个数。
对于每个与 'n' 互质的正整数 'k'，其对应的 'kn' 在模 'n' 意义下等价于 '0'。
由于与 'n' 互质的正整数的个数为 'φ(n)'，所以非负最小既约剩余系的元素和为 'φ(n) * n'。
将等式两边同时除以 '2'，得到非负最小既约剩余系的元素和为 'φ(n) * n / 2'。

这样，我们完成了非负最小既约剩余系的元素和为 'φ(n) * n / 2' 的证明。