非负最小既约剩余系元素和的另一种证明

本文将提供一种不同于传统方法的证明，来证明非负最小既约剩余系的元素和为 φ(n) * n / 2。

命题： 对于任意正整数 n，其非负最小既约剩余系的元素和为 φ(n) * n / 2，其中 φ(n) 为 n 的欧拉函数值。

证明：

设 {r1, r2, ..., rφ(n)} 为 n 的非负最小既约剩余系，其中 0 ≤ ri < n 且 gcd(ri, n) = 1。
对于每个 ri, 由于 gcd(ri, n) = 1, 因此存在唯一的 si ( 0 ≤ si < n ) 使得 ri * si ≡ 1 (mod n)。这是因为 ri 模 n 的逆元存在且唯一。
考虑集合 {s1, s2, ..., sφ(n)}。 * 由于每个 si 对应唯一的 ri，且 ri 互不相同, 因此 si 也互不相同。 * 由于 ri * si ≡ 1 (mod n), si 也与 n 互质。 * 因此，{s1, s2, ..., sφ(n)} 也构成了 n 的一个既约剩余系。
现在我们考虑所有 ri * si 的和: (r1 * s1 + r2 * s2 + ... + rφ(n) * sφ(n)) mod n ≡ (1 + 1 + ... + 1) mod n (根据 ri * si ≡ 1 (mod n)) ≡ φ(n) mod n.
另一方面，我们也可以将 ri * si 的和表示为: (r1 * s1 + r2 * s2 + ... + rφ(n) * sφ(n)) mod n ≡ (r1 + r2 + ... + rφ(n)) * (s1 + s2 + ... + sφ(n)) mod n .
由于 {r1, r2, ..., rφ(n)} 和 {s1, s2, ..., sφ(n)} 都是 n 的既约剩余系，因此它们的元素和模 n 相等。所以，(r1 + r2 + ... + rφ(n)) ≡ (s1 + s2 + ... + sφ(n)) (mod n).
结合步骤4， 5 和 6，我们得到: φ(n) ≡ (r1 + r2 + ... + rφ(n))^2 (mod n).
将等式两边同时乘以 n/2, 得到: φ(n) * n / 2 ≡ (r1 + r2 + ... + rφ(n))^2 * n / 2 (mod n).
由于 (r1 + r2 + ... + rφ(n))^2 * n / 2 是一个整数，且 φ(n) * n / 2 也是一个整数，因此: φ(n) * n / 2 ≡ (r1 + r2 + ... + rφ(n)) * (n / 2) (mod n).
由于 n 是一个正整数, 因此上式等价于: (r1 + r2 + ... + rφ(n)) ≡ φ(n) * n / 2 (mod n).

因此，非负最小既约剩余系的元素和为 φ(n) * n / 2.

总结：

本文利用了模运算的性质以及既约剩余系的定义，以一种简洁而清晰的方式证明了非负最小既约剩余系的元素和公式。