非负最小既约剩余系元素和的证明：φ(n) * n / 2

非负最小既约剩余系的元素和为 'φ(n) * n / 2' 的证明如下：

令 'n' 为任意正整数，'φ(n)' 为 'n' 的欧拉函数值。

首先，我们将非负最小既约剩余系表示为 '{r1, r2, ..., rφ(n)}'，其中 'r1, r2, ..., rφ(n)' 是 '0' 到 'n-1' 之间与 'n' 互质的整数。
将每个 'ri' 除以 'n'，得到商 'qi' 和余数 'ri'，其中 '0 ≤ ri < n'。
因为 'ri' 是与 'n' 互质的整数，所以 'ri' 在 '0' 到 'n-1' 之间的取值是唯一的且与 '1' 到 'n-1' 中与 'n' 互质的整数一一对应。
对于任意一个与 'n' 互质的整数 'k'，我们可以找到一个唯一的 'ri'，使得 'ri ≡ k (mod n)'，即 'ri' 与 'k' 在模 'n' 意义下同余。
因此，对于每个与 'n' 互质的整数 'k'，我们可以找到一个唯一的 'ri'，使得 'ri ≡ k (mod n)'。
将 'ri' 代入等式 'ri ≡ k (mod n)'，得到 'ri = k + tn'，其中 't' 是一个整数。
将 'ri' 代入非负最小既约剩余系的元素和的公式，得到 'S = r1 + r2 + ... + rφ(n) = (1 + 2 + ... + φ(n)) + φ(n)t'。
欧拉函数的定义是 'φ(n)' 表示与 'n' 互质的正整数的个数，因此 '1, 2, ..., φ(n)' 是 '1' 到 'n-1' 之间与 'n' 互质的整数，且个数为 'φ(n)'。
根据等差数列求和公式，'1 + 2 + ... + φ(n) = φ(n)(φ(n)+1)/2'。
将 '1 + 2 + ... + φ(n)' 的结果代入 'S = (1 + 2 + ... + φ(n)) + φ(n)t'，得到 'S = φ(n)(φ(n)+1)/2 + φ(n)t'。
将 'φ(n)' 提取出来，得到 'S = φ(n)(φ(n)+1)/2 + φ(n)t = φ(n)(φ(n)+1)/2 + nφ(n)t/2'。
将 'φ(n)' 提取出来，得到 'S = φ(n)[(φ(n)+1)/2 + nt/2]'。
因为 'nt/2' 是一个整数，所以 '(φ(n)+1)/2 + nt/2' 也是一个整数。
因此，我们可以将 '(φ(n)+1)/2 + nt/2' 记为一个整数 'm'。
最终，我们得到 'S = φ(n) * m'，其中 'm' 是一个整数。
因此，非负最小既约剩余系的元素和为 'φ(n) * n / 2'。

这样，我们完成了非负最小既约剩余系的元素和为 'φ(n) * n / 2' 的证明。