求解二阶非齐次常微分方程：A'(t) + (θk1 - k)A(t) - 1/2 k2^2 A^2(t) = 0

这是一个二阶非齐次常微分方程，可以通过常系数非齐次线性微分方程的解法求解。/n/n首先考虑对应的齐次方程：/n$$A'(t) + (θk_1 - k)A(t) - 1/2 k_2^2 A^2(t) = 0$$/n设其解为$A_h(t)$，则有特征方程：/n$$r + (θk_1 - k) - 1/2 k_2^2 r^2 = 0$$/n解得其根为：/n$$r_1 = (θk_1 - k) / k_2^2, /quad r_2 = 0$$/n因此，齐次方程的通解为：/n$$A_h(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2$$/n其中$C_1, C_2$为任意常数。/n/n接下来考虑非齐次方程：/n$$A'(t) + (θk_1 - k)A(t) - 1/2 k_2^2 A^2(t) = 0$$/n右侧为$0$，因此可以将其看作是一个常数项为$0$的非齐次线性微分方程。设其解为$A_p(t)$，则有：/n$$A_p(t) = C / (1/2 k_2^2 A_h(t) - (θk_1 - k))$$/n其中$C$为任意常数。将$A_h(t)$代入上式，得到：/n$$A_p(t) = C / (1/2 k_2^2 (C_1 e^{r_1 t} + C_2) - (θk_1 - k))$$/n将$A_p(t)$代入原方程，得到：/n$$/n/begin{aligned}/n& A'(t) + (θk_1 - k)A(t) - 1/2 k_2^2 A^2(t) = C / (1/2 k_2^2 (C_1 e^{r_1 t} + C_2) - (θk_1 - k)) ///n/Rightarrow & d/dt[ln(1/2 k_2^2 (C_1 e^{r_1 t} + C_2) - (θk_1 - k)) - ln(C / A(t))] = 0 ///n/Rightarrow & ln(1/2 k_2^2 (C_1 e^{r_1 t} + C_2) - (θk_1 - k)) - ln(C / A(t)) = D ///n/Rightarrow & A(t) = C / exp(D + ln(1/2 k_2^2 (C_1 e^{r_1 t} + C_2) - (θk_1 - k))) ///n/Rightarrow & A(t) = C / (1/2 k_2^2 (C_1 e^{r_1 t} + C_2) - (θk_1 - k) + exp(D))/n/end{aligned}/n$$/n其中$D$为任意常数。根据$A(T) = 0$，有：/n$$0 = C / (1/2 k_2^2 (C_1 e^{r_1 T} + C_2) - (θk_1 - k) + exp(D))$$/n因此，$C / (1/2 k_2^2 (C_1 e^{r_1 T} + C_2) - (θk_1 - k) + exp(D)) = 0$，即$1/2 k_2^2 (C_1 e^{r_1 T} + C_2) - (θk_1 - k) + exp(D) = ∞$。由于$C_1, C_2$为任意常数，因此可以取$C_2 = -1/2 k_2^2 C_1 e^{r_1 T}$，从而得到：/n$$A(t) = C / (1/2 k_2^2 C_1 e^{r_1(t - T)} + exp(D))$$/n其中$C, C_1, D$为任意常数，$r_1 = (θk_1 - k) / k_2^2$。