三棱锥C-AMB的底面是一个边长为√3的等边三角形△AMB顶点C满足CB=CM=2CA=2√2则该三棱锥的外接球半径为多少？请用几何法求解。外接球的半径不是顶点到底面重心的距离而是其外接球的半径。

我们可以先求出三棱锥的高，再利用勾股定理求出外接球半径。

首先，连接AC、BC，并假设三棱锥的高为h。

由于△AMB是等边三角形，所以∠AMB = ∠BMA = ∠MAB = 60°。

又因为CA = 2√2，所以三角形△CAB为直角三角形，其中∠CAB = 90°。

所以△CAB是一个30°-60°-90°的特殊三角形。

根据三角形△CAB的性质，我们可以求出AB的长度：

AB = CA * √3 = 2√2 * √3 = 2√6。

由于△AMB是等边三角形，所以AM = MB = AB / √3 = (2√6) / √3 = 2√2。

由于CB = CM = 2，所以三角形△CBM也是一个直角三角形。

根据勾股定理，我们可以求出BM的长度：

BM = √(BC^2 - CM^2) = √(2^2 - 2^2) = √0 = 0。

这说明B、M两点重合，即B、M两点重合于线段CM上。

所以三棱锥的高h = CM = 2。

接下来，我们考虑△CAB这个30°-60°-90°的特殊三角形。

设三角形的重心为G，AG为三角形的高，BC为三角形的底边。

根据30°-60°-90°的特殊三角形的性质，我们知道AG = (2/3) * h = (2/3) * 2 = 4/3。

又因为BC = AB = 2√6，所以三角形△CAB的底边BC的长度为2√6。

我们可以得到三角形△CAB的重心G的坐标为(Gx, Gy)，其中Gx为BC的中点的横坐标，Gy为BC的中点的纵坐标。

由于BC的中点的横坐标为0，纵坐标为(√6)/3，所以G的坐标为(0, (√6)/3)。

最后，我们利用勾股定理求出外接球的半径。

设外接球的半径为R，C为球心，O为球的投影点。

根据勾股定理，我们可以得到OC的长度：

OC = √(OG^2 + CG^2) = √((√6/3)^2 + (4/3)^2) = √(6/9 + 16/9) = √(22/9) = (√22)/3。

所以，这个三棱锥的外接球半径为(√22)/3