群内某一元素的阶 就是该元素生成的循环子群的阶这个命题成立吗 证明

这个命题是成立的。

证明如下：

假设G是一个群，a是G的一个元素。我们定义H为由a生成的循环子群，即H = {a^n | n ∈ Z}。

首先，我们需要证明H是一个子群。

1. H非空：由于a^0 = e ∈ H，所以H非空。

2. 封闭性：对于任意的a^m, a^n ∈ H，我们有(a^m)(a^n) = a^(m+n) ∈ H，所以H对乘法封闭。

3. 逆元素：对于任意的a^n ∈ H，我们有(a^n)^(-1) = a^(-n) ∈ H，所以H对求逆封闭。

因此，H是G的一个子群。

接下来，我们需要证明H的阶等于a的阶。

设a的阶为k，即a^k = e。

如果存在一个正整数m < k，使得a^m = e，则由于H是由a生成的循环子群，我们有a^m ∈ H。但是，这与a的阶为k矛盾，因为在H中，最小的正整数n，使得a^n = e，就是k。

因此，H中的元素都是不同的，且H中的元素个数为k。

所以，H的阶等于a的阶。