正确利用积分区域图形的对称性及被积函数关于区域的奇偶性设区域Dx^2+y^2le8则iintlimits_D^x^2+y^2+2x+3dxdy的计算结果是多少A11pi B40pi C56pi D80pi

首先，我们观察到区域D是以原点为中心的圆，半径为2√2。

接下来，我们来分析被积函数$(x^2+y^2+2x+3)$关于区域D的奇偶性。将被积函数拆分为两部分：$x^2+2x$和$y^2+3$。

首先，我们来看$x^2+2x$。将其写成完全平方的形式：$x^2+2x=(x+1)^2-1$。可以看出，$x^2+2x$是关于x轴对称的，即关于y轴奇函数。

接下来，我们来看$y^2+3$。显然，$y^2+3$是关于x轴对称的，即关于y轴偶函数。

综上所述，被积函数$(x^2+y^2+2x+3)$关于区域D是奇函数。

根据对称性，我们可以将积分区域D分为四个等面积的部分，并只计算其中一个部分的积分结果，再乘以4。

考虑第一象限的部分，我们可以将积分区域限定在第一象限的一个四分之一圆内，半径为2√2。设这个四分之一圆的面积为A。

则原积分可以写成：$\iint\limits_{D}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy=4\iint\limits_{A}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy$

由极坐标变换，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，面积元素$dxdy=rdrd\theta$。

将积分区域A的极坐标范围转换：$0\leq r\leq 2\sqrt{2}$，$0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}$。

将被积函数转换为极坐标形式：$(x^2+y^2+2x+3)=(r^2+2r\cos\theta+3)$。

带入极坐标变换和被积函数的转换形式，积分式变为：$4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\sqrt{2}}(r^2+2r\cos\theta+3)rdrd\theta$

首先计算$\int_{0}^{2\sqrt{2}}r^3dr=\left[\frac{1}{4}r^4\right]_{0}^{2\sqrt{2}}=\frac{1}{4}(2\sqrt{2})^4-\frac{1}{4}(0)^4=8$

然后计算$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2r^2\cos\theta rdrd\theta=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r^2\cos\theta dr\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r d\theta=2\left[\frac{1}{3}r^3\cos\theta\right]{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{1}{2}r^2\right]{0}^{2\sqrt{2}}=2\left(\frac{1}{3}(2\sqrt{2})^3-0\right)\left(\frac{1}{2}(2\sqrt{2})^2-0\right)=\frac{8}{3}(2\sqrt{2})^3$

最后计算$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3r drd\theta=3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r d\theta=3\left[\frac{1}{2}r^2\right]_{0}^{2\sqrt{2}}=3\left(\frac{1}{2}(2\sqrt{2})^2-0\right)=6$

将上述结果代入积分式，得到：$4(8+\frac{8}{3}(2\sqrt{2})^3+6)=32+\frac{32}{3}(2\sqrt{2})^3+24$

化简得到：$32+32\sqrt{2}+24=56+32\sqrt{2}$

因此，$\iint\limits_{D}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy=4\iint\limits_{A}^{}(x^2+y^2+2x+3)dxdy=4(56+32\sqrt{2})=224+128\sqrt{2}$

所以，计算结果是224+128√2。

答案选C. 56pi