正确利用积分区域图形的对称性及被积函数关于区域的奇偶性设区域Dx^2+y^2le8则iintlimits_D^x^2+y^2+2x+3dxdy的计算结果是多少

首先，观察区域D:x^2+y^2≤8，可以发现该区域关于y轴对称。由于被积函数为f(x, y) = x^2 + y^2 + 2x + 3，可以进一步观察被积函数关于区域D的奇偶性。

我们可以将被积函数拆分为两部分： f1(x, y) = x^2 + 2x f2(x, y) = y^2 + 3

首先考虑f1(x, y) = x^2 + 2x，观察其关于y轴的奇偶性。将x替换为-x，得到f1(-x, y) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x = x(x-2)。由此可见，f1(x, y)与f1(-x, y)的值相等，即f1(x, y)关于y轴是偶函数。

然后考虑f2(x, y) = y^2 + 3，观察其关于y轴的奇偶性。将y替换为-y，得到f2(x, -y) = (-y)^2 + 3 = y^2 + 3。由此可见，f2(x, y)与f2(x, -y)的值相等，即f2(x, y)关于y轴是偶函数。

根据对称性和奇偶性，可以得出以下结论：

1. 对于区域D:x^2+y^2≤8，被积函数f(x, y) = x^2 + y^2 + 2x + 3的积分结果只与区域D的右半部分有关。

因此，可以将积分区域D分解为两个部分：D1:x^2+y^2≤8, x≥0 和 D2:x^2+y^2≤8, x≤0。

然后，计算积分结果： ∬D (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy = ∫∫D1 (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy + ∫∫D2 (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy

对于D1，使用极坐标变换： x = rcosθ, y = rsinθ，其中0 ≤ r ≤ 2，0 ≤ θ ≤ π/2

∫∫D1 (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy = ∫∫D1 (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ + 2rcosθ + 3) r drdθ = ∫(0 to π/2) ∫(0 to 2) (r^3cos^2θ + r^3sin^2θ + 2r^2cosθ + 3r) drdθ

对于D2，同样使用极坐标变换： x = rcosθ, y = rsinθ，其中0 ≤ r ≤ 2，−π/2 ≤ θ ≤ 0

∫∫D2 (x^2 + y^2 + 2x + 3) dxdy = ∫∫D2 (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ + 2rcosθ + 3) r drdθ = ∫(−π/2 to 0) ∫(0 to 2) (r^3cos^2θ + r^3sin^2θ + 2r^2cosθ + 3r) drdθ

计算上述两个积分，并将结果相加，即可得到最终的计算结果