正确利用积分区域图形的对称性及被积函数关于区域的奇偶性 也可以简化计算 2023 设区域Dx^2+y^2le8则iintlimits_D^x^2+y^2+2x+3dxdy的计算结果是多少

首先，观察区域D：$x^2+y^2\leq8$，这是一个圆心在原点，半径为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$的圆。

接下来，我们观察被积函数$(x^2+y^2+2x+3)$关于区域D的奇偶性。将函数进行化简，得到： $(x^2+2x)+(y^2+3)=x(x+2)+y^2+3$

可以看出，函数中的$x(x+2)$是一个奇函数，而$y^2+3$是一个偶函数。

根据对称性，我们可以将区域D分为四个相等的部分，每个部分的计算结果相同。因此，我们只需要计算其中一个部分的积分结果，然后乘以4即可。

考虑第一象限的部分，即$x\geq0$，$y\geq0$。

在第一象限部分，我们可以将积分区域D进行极坐标变换。设$r$为极坐标下的半径，$\theta$为极角，则$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，且$r\geq0$，$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$。

由于$x^2+y^2\leq8$，代入极坐标变换的表达式，得到$r^2\leq8$，即$r\leq2\sqrt{2}$。

利用极坐标变换的雅可比行列式，计算面积元素$dA$，有$dA=rdrd\theta$。

将$x$和$y$用$r$和$\theta$表示的式子代入被积函数，得到被积函数在极坐标下的表达式： $(x^2+y^2+2x+3)=r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta+2r\cos\theta+3$

将被积函数和面积元素代入积分式，得到积分表达式： $\iint_D (x^2+y^2+2x+3)dxdy=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\sqrt{2}}(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta+2r\cos\theta+3)rdrd\theta$

对第一个含有$r^2$的积分进行计算，有： $\int_0^{2\sqrt{2}}r^3dr=\frac{1}{4}(2\sqrt{2})^4-\frac{1}{4}(0)^4=8$

对第二个含有$r$的积分进行计算，有： $\int_0^{2\sqrt{2}}2r^2\cos\theta dr=2\cos\theta\int_0^{2\sqrt{2}}r^2dr=2\cos\theta\frac{1}{3}(2\sqrt{2})^3=\frac{16}{3}\cos\theta$

对第三个常数项进行计算，有： $\int_0^{2\sqrt{2}}3rdr=3\int_0^{2\sqrt{2}}rdr=3\frac{1}{2}(2\sqrt{2})^2=12$

将三个积分结果相加，得到在第一象限部分的积分结果： $\int_0^{\frac{\pi}{2}}(8+\frac{16}{3}\cos\theta+12)d\theta=8\theta+\frac{16}{3}\sin\theta+12\theta\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}=8\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{16}{3}\cdot1+12\cdot\frac{\pi}{2}=4\pi+\frac{16}{3}+\frac{6\pi}{2}=4\pi+\frac{16}{3}+3\pi=7\pi+\frac{16}{3}$

最后，将第一象限部分的积分结果乘以4，得到整个区域D的积分结果： $\iint_D (x^2+y^2+2x+3)dxdy=4(7\pi+\frac{16}{3})=28\pi+\frac{64}{3}$

综上所述，$\iint_D (x^2+y^2+2x+3)dxdy=28\pi+\frac{64}{3}$