多元函数可微性：一阶偏导连续与领域的关系

一阶偏导连续是多元函数可微的一个必要条件，但并不是充分条件。也就是说，一阶偏导连续只能保证多元函数在该点可微，但不能保证在该点的领域内都可微。

多元函数在某一点可微的定义是，存在一个线性变换，使得该点附近的函数值能够近似于该线性变换的函数值，而且该线性变换的系数就是该点的一阶偏导数。

一阶偏导连续的意义是，该点的一阶偏导数存在且连续。这意味着在该点的附近，函数的变化足够平滑，没有突变或奇点。这种情况下，可以通过一阶偏导数来近似函数值，从而得到可微的结果。

然而，即使一阶偏导连续，也不能保证在该点的领域内都可微。因为可微性还需要考虑高阶偏导数的连续性。如果高阶偏导数不连续或不存在，那么即使一阶偏导连续，函数在该点的领域内也可能不可微。

因此，一阶偏导连续只是多元函数可微的一个必要条件，但并不是充分条件。要保证多元函数在某一点及其领域内可微，需要进一步考虑高阶偏导数的连续性。