为什么你的证明中：sum_j=1^itbinomij^2&=sum_j=1^i1+tbinomij^2二项式定理是指对于任意实数$a$和$b$以及任意正整数$n$有以下等式成立：$$a+b^n=sum_k=0^ntbinomnka^n-kb^k$$其中$tbinomnk$表示组合数表示从$n$个元素中选择$k$个元素的方式数也可以表示为$tbinomnk=fracn!k!n-k!$。对于给定的$i

$\sum_{j=1}^i\tbinom{i}{j}^2=\sum_{j=0}^i\tbinom{i}{j}^2-\tbinom{i}{0}^2-\tbinom{i}{i}^2$。

根据组合数的性质，有$\tbinom{i}{0}=1$和$\tbinom{i}{i}=1$。因此，$\tbinom{i}{0}^2=1$和$\tbinom{i}{i}^2=1$。将其代入上式，得到： $$ \begin{aligned} \sum_{j=1}^i\tbinom{i}{j}^2&=\sum_{j=0}^i\tbinom{i}{j}^2-\tbinom{i}{0}^2-\tbinom{i}{i}^2\ &=\sum_{j=0}^i\tbinom{i}{j}^2-1-1\ &=\sum_{j=0}^i\tbinom{i}{j}^2-2 \end{aligned} $$

因此，$\sum_{j=1}^i\tbinom{i}{j}^2=\sum_{j=0}^i\tbinom{i}{j}^2-2$。