请问$sum_j=1^i-1^i+ji^mtbinomij^2$怎么证出$i^2mtbinom2ii-1$？谢谢

首先，我们可以将和式展开： $$ \sum_{j=1}^i((-1)^{i+j}i^m\tbinom{i}{j})^2=(-1)^{2i}i^{2m}\sum_{j=1}^i\tbinom{i}{j}^2 $$ 接下来，我们可以利用二项式定理将$\sum_{j=1}^i\tbinom{i}{j}^2$展开为： $$ \sum_{j=1}^i\tbinom{i}{j}^2=\sum_{j=0}^i\tbinom{i}{j}^2-\tbinom{i}{0}^2-\tbinom{i}{i}^2 $$ 由于$\tbinom{i}{j}=\tbinom{i}{i-j}$，所以上述和式可以进一步变为： $$ \sum_{j=1}^i\tbinom{i}{j}^2=\sum_{j=0}^i\tbinom{i}{j}\tbinom{i}{i-j}-1-1 $$ 根据Vandermonde恒等式，我们知道： $$ \sum_{j=0}^i\tbinom{i}{j}\tbinom{i}{i-j}=\tbinom{2i}{i} $$ 因此： $$ \sum_{j=1}^i\tbinom{i}{j}^2=\tbinom{2i}{i}-2 $$ 将这个结果代入前面的式子中，我们得到： $$ \sum_{j=1}^i((-1)^{i+j}i^m\tbinom{i}{j})^2=(-1)^{2i}i^{2m}(\tbinom{2i}{i}-2)=i^{2m}(\tbinom{2i}{i}-1) $$ 证毕