已知m-1x²-2mx+m+1=0求方程的根当m为何整数时比方程的两个根都为正整数？

首先，我们可以使用判别式来确定方程的根的性质。方程的判别式为$D = b^2 - 4ac$。

将方程(m-1)x²-2mx+m+1=0与一般的二次方程ax²+bx+c=0进行比较，得到$a = m-1$，$b = -2m$，$c = m+1$。

代入判别式的公式，得到$D = (-2m)^2 - 4(m-1)(m+1) = 4m^2 - 4(m^2 - 1) = 4$。

根据判别式的结果，当$D > 0$时，方程有两个不相等的实根；当$D = 0$时，方程有两个相等的实根；当$D < 0$时，方程没有实根。

因此，当$D = 4 > 0$时，方程有两个不相等的实根。而且题目要求这两个根都是正整数。

我们可以列出方程的根的求解公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$。代入$a = m-1$，$b = -2m$，$D = 4$，得到$x = \frac{2m \pm 2}{2(m-1)} = \frac{m \pm 1}{m-1}$。

为了使得根是正整数，我们必须满足两个条件：$m \pm 1$是$m-1$的倍数，且$m \pm 1 > 0$。

首先考虑$m + 1$是$m-1$的倍数，可以设$m + 1 = k(m-1)$，其中$k$是正整数。解得$m = \frac{k+1}{k-1}$。

然后考虑$m - 1$是$m-1$的倍数，可以设$m - 1 = k(m-1)$，其中$k$是正整数。解得$m = \frac{k+1}{k+1}$。

综上所述，当$m = \frac{k+1}{k-1}$或$m = \frac{k+1}{k+1}$时，方程的两个根都为正整数。