已知m-1x²-2mx+m+1=0求方程的根当m为何整数时比方程的两个根都为正整数

首先将方程(m-1)x²-2mx+m+1=0化简为二次方程，得到： mx² - (2m+1)x + (m+1) = 0

根据二次方程的求根公式，方程的根为： x = [-(2m+1) ± √((2m+1)² - 4m(m+1))] / (2m)

要使方程的两个根都为正整数，即要求根的分子为正数，即 -(2m+1) > 0，解得 m < -1/2。

而且要使根为正整数，即要求根的分母为正整数，即 √((2m+1)² - 4m(m+1)) 为整数。

设 √((2m+1)² - 4m(m+1)) = n，其中 n 为正整数。

对方程进行化简，得到： (2m+1)² - 4m(m+1) = n² 4m² + 4m + 1 - 4m² - 4m = n² 1 = n²

由于 1 的平方根只有正整数 1，所以 n = 1。

将 n = 1 代入 √((2m+1)² - 4m(m+1)) = n，得到： √((2m+1)² - 4m(m+1)) = 1 (2m+1)² - 4m(m+1) = 1 4m² + 4m + 1 - 4m² - 4m = 1 1 = 1

所以，方程的根为正整数的条件是 m < -1/2。