两个集合列均收敛怎么证明这两个集合列的并集仍然收敛给出证明过程

设集合列$(A_n)$和$(B_n)$分别收敛于$A$和$B$，即$\lim_{n\to\infty}A_n=A$，$\lim_{n\to\infty}B_n=B$。

要证明集合列$(A_n\cup B_n)$收敛于$A\cup B$，即$\lim_{n\to\infty}(A_n\cup B_n)=A\cup B$。

根据集合的定义，$x\in A\cup B$当且仅当$x\in A$或$x\in B$。

对于任意的$x\in A\cup B$，根据上述定义，存在两种情况：

1. 当$x\in A$时，由$\lim_{n\to\infty}A_n=A$可知，在集合列$(A_n)$中存在一个正整数$N_1$，使得当$n>N_1$时，$x\in A_n$。
2. 当$x\in B$时，由$\lim_{n\to\infty}B_n=B$可知，在集合列$(B_n)$中存在一个正整数$N_2$，使得当$n>N_2$时，$x\in B_n$。

取$N=max(N_1,N_2)$，则当$n>N$时，$x\in A_n$或$x\in B_n$，即$x\in A_n\cup B_n$。

综上所述，对于任意的$x\in A\cup B$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$x\in A_n\cup B_n$。这说明集合列$(A_n\cup B_n)$收敛于$A\cup B$。

因此，两个集合列的并集仍然收敛。