热爱数学的追求：从π的奥秘到二项式定理的奇妙

当初在初中数学课上第一次接触到π的定义和起源时，我对数学产生了浓厚的兴趣。老师通过电脑向我们演示了布丰针实验，在平行线之间随机放置细针，针与线相交的概率与π相关。那时候，我深感自己对π的理解仅限于圆的周长与半径的比值。为什么在没有圆的情况下也出现了π呢？从那时起，我开始探索这优美而美丽的数学'艺术'。

学习A-Level数学让我略窥数学学习的乐趣，但这远远不足以满足我对知识的渴望。我一直渴望深入研究数学理论，寻找每个概念的本质。例如，在学习FP3时，我发现双曲三角函数可以用e^x表示，类似于三角函数使用e^ix。被这种关联所吸引，我通过微积分从几何定义中细致推导了双曲三角函数的公式。尽管过程复杂，但我惊讶地得到了如此简洁的表达式。在这些研究中，我经常思考数学家是如何思考问题的，这些数学概念是否能应用于现实世界。这些问题进一步激发了我探索数学世界的愿望。

作为我们学校A-Level数学学生中的高级学习者，我创建了一个数学俱乐部。在我们学校的'科学展'活动中，我们选择了'扫雷'作为研究课题。起初，我们很难将这个游戏与数学联系起来。然而，我意识到扫雷也只涉及两种情况，并利用S2中的二项式分布知识，我们找到了一个研究方向──扫雷是否符合二项式分布。在后续的研究中，我们计算了不同条件下一些方块是否含有地雷的概率，然后我们发现，随着地雷总数的增加，单个方块是地雷的概率遵循二项式展开。这一发现进一步加强了我意识到数学无处不在的认识，我们的研究也激发了更多学生对数学探究的热情。

此外，我参加过AMC12、AIME和SMC，AIME中取得了高分10分，并在SMC中晋级到BMO水平。在我的数学之旅中，有一个特别的时刻让我难以忘怀，那就是在研究二项式定理时我发现了一个有趣的模式。我将帕斯卡三角形以直角三角形的方式排列，注意到沿对角线向下的所有项的和形成了斐波那契数列。我被深深吸引，开始寻找总项的对角线和的通用公式，并在证明中运用了斐波那契数列的定义。在推导出不同对角线上的项的求和公式后，我意识到它们确实遵循着一个特定的模式。然而，这个模式对我来说还不够明显。然后，我回忆起帕斯卡定理，它与斐波那契数列的递归公式有相似的结构。因此，我仔细观察了帕斯卡定理描述的项数，并成功发现了其中的规律。这个证明之后，我陷入了敬畏之中。斐波那契数列如何隐藏在帕斯卡三角形中，它们本来没有交集呢？数学领域仍然有许多未解之谜等待我们去发现。这次经历增强了我探索和揭示数学世界奥秘的决心。

数学不仅给我带来了丰富的知识，还赋予了我质疑和挑战所谓公理的能力。它让我用有鉴别力的思维方式接触一切。数学的世界仍然存在许多待人类解决的未知问题。我也希望将来能致力于数学研究，并且进入英国的一所知名大学将是我探索数学世界之美的第一步。