用极限定义证明 f(x) = |x| / x 在 x = 0 处的左右极限

好的，我用极限的定义来证明函数 f(x) = |x| / x 在 x = 0 处的左右极限存在。

首先，我们来证明左极限。假设存在 x_n 为负数序列，并满足 x_n < 0 且 x_n 逼近于 0。那么，我们可以写出左极限的定义：

lim(x_n→0-) f(x_n) = lim(x_n→0-) |x_n| / x_n

当 x_n < 0 时，|x_n| = -x_n，因此上式可以进一步转化为：

lim(x_n→0-) f(x_n) = lim(x_n→0-) (-x_n) / x_n

经过简化，我们得到：

lim(x_n→0-) f(x_n) = lim(x_n→0-) -1 = -1

同样的，我们可以使用类似的推理来证明右极限。假设存在 x_n 为正数序列，并满足 x_n > 0 且 x_n 逼近于 0。那么，我们可以写出右极限的定义：

lim(x_n→0+) f(x_n) = lim(x_n→0+) |x_n| / x_n

当 x_n > 0 时，|x_n| = x_n，因此上式可以进一步转化为：

lim(x_n→0+) f(x_n) = lim(x_n→0+) x_n / x_n

经过简化，我们得到：

lim(x_n→0+) f(x_n) = lim(x_n→0+) 1 = 1

由于左极限和右极限都存在且相等，我们可以得出结论：函数 f(x) = |x| / x 在 x = 0 处的左右极限存在，并且都等于 1。