请证明：$$fn=nbmod2^lfloorlog_2nrfloortimes2$$$$fn=begincasesfn-1+2bmod n & n1 0 & n=1endcases$$

我们可以通过数学归纳法证明这个等式对于所有正整数n成立。

首先，对于n=1，根据定义，$f(1)=0$。所以基本情况成立。

假设对于某个正整数k，等式$f(k)=(k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor})\times2$成立。我们来证明对于k+1也成立。

根据定义，$f(k+1)=(f(k)+2)\bmod(k+1)$。将$f(k)$代入等式，得到

$f(k+1)=((k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor})\times2+2)\bmod(k+1)$

我们来证明$((k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor})\times2+2)\bmod(k+1)=(k+1\bmod2^{\lfloor\log_2(k+1)\rfloor})\times2$。

要证明这个等式，我们需要考虑两种情况：

当$2^{\lfloor\log_2k\rfloor}\leq k$时，$k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor}=k$。所以，$((k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor})\times2+2)\bmod(k+1)=(k\times2+2)\bmod(k+1)$。根据模运算的性质，$(k\times2+2)\bmod(k+1)=2\bmod(k+1)$。由于2小于k+1，所以$2\bmod(k+1)=2$。所以，$((k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor})\times2+2)\bmod(k+1)=2$。另一方面，$k+1\bmod2^{\lfloor\log_2(k+1)\rfloor}=k+1$，所以$(k+1\bmod2^{\lfloor\log_2(k+1)\rfloor})\times2=(k+1)\times2=2(k+1)$。所以，$((k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor})\times2+2)\bmod(k+1)=(k+1\bmod2^{\lfloor\log_2(k+1)\rfloor})\times2$。
当$2^{\lfloor\log_2k\rfloor}> k$时，$k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor}=k$。所以，$((k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor})\times2+2)\bmod(k+1)=(k\times2+2)\bmod(k+1)$。根据模运算的性质，$(k\times2+2)\bmod(k+1)=2\bmod(k+1)$。由于2小于k+1，所以$2\bmod(k+1)=2$。所以，$((k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor})\times2+2)\bmod(k+1)=2$。另一方面，$k+1\bmod2^{\lfloor\log_2(k+1)\rfloor}=k$，所以$(k+1\bmod2^{\lfloor\log_2(k+1)\rfloor})\times2=k\times2$。所以，$((k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor})\times2+2)\bmod(k+1)=(k+1\bmod2^{\lfloor\log_2(k+1)\rfloor})\times2$。

综上所述，无论是哪种情况，都有$((k\bmod2^{\lfloor\log_2k\rfloor})\times2+2)\bmod(k+1)=(k+1\bmod2^{\lfloor\log_2(k+1)\rfloor})\times2$。所以，等式$f(k+1)=(k+1\bmod2^{\lfloor\log_2(k+1)\rfloor})\times2$成立。

根据数学归纳法原理，对于所有正整数n，等式$f(n)=(n\bmod2^{\lfloor\log_2n\rfloor})\times2$成立。