实变函数1用定义证明开区间01与开区间ab对等其中ab2用定义证明闭区间01与闭区间ab对等其中ab

1. 为了证明开区间（0，1）与开区间（a,b)对等，其中a<b，我们需要构建一个一一映射函数。

设f(x) = a + (b-a)x，其中x ∈ (0,1)。

首先，我们需要证明f(x)是一个映射，即对于任意的x ∈ (0,1)，f(x)有唯一的映射值。

假设存在两个不同的实数x1和x2，使得f(x1) = f(x2)，即a + (b-a)x1 = a + (b-a)x2。通过移项得到x1 = x2，这与假设矛盾，因此f(x)是一个映射。

其次，我们需要证明f(x)是一个满射，即对于任意的y ∈ (a,b)，存在唯一的x ∈ (0,1)，使得f(x) = y。

由于a < y < b，我们可以通过移项得到x = (y-a)/(b-a)。由于a < y < b，所以0 < (y-a)/(b-a) < 1，即x ∈ (0,1)。因此，对于任意的y ∈ (a,b)，存在唯一的x ∈ (0,1)，使得f(x) = y，即f(x)是一个满射。

综上所述，我们构建的函数f(x)是一个一一映射，证明了开区间（0，1）与开区间（a,b)对等。

2. 为了证明闭区间[0，1]与闭区间[a,b]对等，其中a<b，我们需要构建一个一一映射函数。

设g(x) = a + (b-a)x，其中x ∈ [0,1]。

首先，我们需要证明g(x)是一个映射，即对于任意的x ∈ [0,1]，g(x)有唯一的映射值。

假设存在两个不同的实数x1和x2，使得g(x1) = g(x2)，即a + (b-a)x1 = a + (b-a)x2。通过移项得到x1 = x2，这与假设矛盾，因此g(x)是一个映射。

其次，我们需要证明g(x)是一个满射，即对于任意的y ∈ [a,b]，存在唯一的x ∈ [0,1]，使得g(x) = y。

由于a ≤ y ≤ b，我们可以通过移项得到x = (y-a)/(b-a)。由于a ≤ y ≤ b，所以0 ≤ (y-a)/(b-a) ≤ 1，即x ∈ [0,1]。因此，对于任意的y ∈ [a,b]，存在唯一的x ∈ [0,1]，使得g(x) = y，即g(x)是一个满射。

综上所述，我们构建的函数g(x)是一个一一映射，证明了闭区间[0，1]与闭区间[a,b]对等。