x^21+x^2的定积分

首先，我们可以尝试对被积函数进行分式分解，得到：

x^2/(1+x^2) = 1 - 1/(1+x^2)

然后，我们可以将原式转化为两个简单的积分：

∫x^2/(1+x^2) dx = ∫1 dx - ∫1/(1+x^2) dx

第一个积分很简单，得到：

∫1 dx = x

对于第二个积分，我们可以进行一些代换和化简：

令 u = x + 1，那么 du/dx = 1，即 dx = du

将 u = x + 1 代入 1/(1+x^2)，得到：

1/(1+x^2) = 1/(1+(u-1)^2) = 1/(2-u+u^2)

然后，将上式代入第二个积分，得到：

∫1/(1+x^2) dx = ∫1/(2-u+u^2) du

接下来，我们需要对上式进行分式分解：

1/(2-u+u^2) = A/(u-a) + B/(u^2+bu+c)

通过求通分和对比系数，可以得到：

A = 1/√3，a = 1-√3，B = -1/√3，b = 2，c = 4-2√3

因此，上式可以分解为：

∫1/(1+x^2) dx = 1/√3 * ∫1/(u-(1-√3)) du - 1/√3 * ∫u+√3/(u^2+2u+(4-2√3)) du

对于第一个积分，可以直接进行积分，得到：

1/√3 * ∫1/(u-(1-√3)) du = (1/√3) * ln|u-(1-√3)| + C

对于第二个积分，我们可以通过配方法将分母化为完全平方的形式:

u^2+2u+(4-2√3) = (u+1+√3)^2 - 2

令 t = u+1+√3，得到：

∫(u+√3)/(u^2+2u+(4-2√3)) du = ∫(t-1)/(t^2-2) dt

然后，我们可以进行代换：

令 v = t^2-2，那么 dv/dt = 2t，即 dt = dv/(2t)

将 t^2-2 代入上式，得到：

∫(t-1)/(t^2-2) dt = (1/2) ∫(1/v) dv = (1/2) ln|v| + C

将 v = t^2-2 代入上式，得到：

(1/2) ln|t^2-2| + C

将 t = u+1+√3 代入上式，得到：

(1/2) ln|(u+1+√3)^2-2| + C

综合以上结果，得到原式的定积分为：

∫x^2/(1+x^2) dx = x - (1/√3) * ln|x+(1-√3)| - (1/2) ln|(x+1+√3)^2-2| + C

其中 C 为积分常数