十番棋也称十局棋是围棋比赛的一种形式对弈双方下十局棋先胜六局者获胜这种形式的比赛因对局较多偶然性较小在中国明清时期和日本都流行过在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星友的血泪十局以及范西屏和施襄夏的当湖十局已知甲、乙两人进行围棋比赛每局比赛甲获胜的概率和乙获胜的概率均为且各局比赛胜负相互独立1．12分1若甲、乙两人进行十番棋比赛求甲至多经过七局比赛获胜的概率；2甲、乙两人约定新赛制如下：对弈双方

1.（1）甲至多经过七局比赛获胜的概率为： $$ P(\text{甲至多经过七局比赛获胜})=P(\text{甲获胜6局})+P(\text{甲获胜7局})+P(\text{甲获胜8局})+P(\text{甲获胜9局})+P(\text{甲获胜10局}) $$ 由于甲、乙两人的胜负是相互独立的，因此每局比赛中甲获胜的概率为$p$，乙获胜的概率为$1-p$。根据二项分布的概率公式，甲获胜$k$局的概率为： $$ P(\text{甲获胜}k\text{局})=\binom{10}{k}p^k(1-p)^{10-k} $$ 带入$k=6,7,8,9,10$，得到： \begin{align*} &P(\text{甲获胜6局})=\binom{10}{6}p^6(1-p)^4\ &P(\text{甲获胜7局})=\binom{10}{7}p^7(1-p)^3\ &P(\text{甲获胜8局})=\binom{10}{8}p^8(1-p)^2\ &P(\text{甲获胜9局})=\binom{10}{9}p^9(1-p)\ &P(\text{甲获胜10局})=p^{10} \end{align*} 代入$p=0.5$，得到： \begin{align*} &P(\text{甲至多经过七局比赛获胜})\ =&\binom{10}{6}(0.5)^6(0.5)^4+\binom{10}{7}(0.5)^7(0.5)^3+\binom{10}{8}(0.5)^8(0.5)^2+\binom{10}{9}(0.5)^9(0.5)+0.5^{10}\ =&0.377 \end{align*} 因此甲至多经过七局比赛获胜的概率为$0.377$。

（2）设甲、乙两人进行$n$局比赛，甲获胜$k$局的概率为$P(k)$。则甲赢得比赛的概率为： $$ P(\text{甲赢得比赛})=\sum_{k=\lceil n/2\rceil}^{n}P(k) $$ 其中$\lceil n/2\rceil$表示向上取整。为了证明$n$越大，甲赢得比赛的概率越大，我们需要证明： $$ P(\text{甲赢得比赛})\geq P(\text{甲赢得比赛})\Big|_{n-1} $$ 即当比赛局数从$n-1$增加到$n$时，甲赢得比赛的概率不会减小。这可以用归纳法证明：

当$n=2$时，甲赢得比赛的概率为$P(1)$，显然成立。

假设当$n=k$时结论成立，即$P(\text{甲赢得比赛})\geq P(\text{甲赢得比赛})\Big|_{k-1}$。

当$n=k+1$时，甲赢得比赛的概率为： \begin{align*} &P(\text{甲赢得比赛})\ =&\sum_{k=\lceil (k+1)/2\rceil}^{k+1}P(k)\ =&P(\lceil (k+1)/2\rceil)+\sum_{k=\lceil (k+1)/2\rceil+1}^{k+1}P(k)\ =&P(\lceil (k+1)/2\rceil)+\sum_{k=\lceil k/2\rceil}^{k}P(k)\ \geq&P(\lceil (k+1)/2\rceil)+\sum_{k=\lceil k/2\rceil}^{k}P(k)\Big|{k-1}\ =&P(\lceil (k+1)/2\rceil)+\sum{k=\lceil (k-1)/2\rceil}^{k-1}P(k)\ =&P(\lceil (k+1)/2\rceil)+\sum_{k=\lceil k/2\rceil}^{k-1}P(k)\ =&\sum_{k=\lceil k/2\rceil}^{k}P(k)\ =&P(\text{甲赢得比赛})\Big|_{k} \end{align*}

因此，由数学归纳法可知，对于任意$n\geq 2$，甲赢得比赛的概率都不会减小，即$n$越大，甲赢得比赛的概率越大