设X是n×p矩阵证明 矩阵 是对称幂等矩阵

首先，矩阵X是幂等矩阵，即$X^2=X$。

其次，矩阵X是对称矩阵，即$X^T=X$。

那么，我们需要证明$X^T=X$且$X^2=X$时，矩阵X是对称幂等矩阵。

对称幂等矩阵是指矩阵X满足$X^T=X$且$X^2=X$。

证明如下：

对于任意的i和j，有$(X^2){ij}=\sum{k=1}^n X_{ik}X_{kj}$，而$(X^T){ij}=X{ji}$。

因为$X^2=X$，所以$(X^2){ij}=(X){ij}$，即$\sum_{k=1}^n X_{ik}X_{kj}=X_{ij}$。

又因为$X^T=X$，所以$X_{ji}=X_{ij}$。

综上所述，对于任意的i和j，有$X_{ij}=\sum_{k=1}^n X_{ik}X_{kj}=X_{ji}$。

因此，矩阵X是对称矩阵。

又因为$X^2=X$，所以$X^3=X^2=X$，$X^4=X^2=X$，$\cdots$，$X^n=X$。

因此，矩阵X是幂等矩阵。

综上所述，矩阵X是对称幂等矩阵。