14．13分如图所示MN、PQ是两条水平、平行放置、宽L=5m5m的光滑金属导轨垂直轨道平面有磁感应强度B=04T的匀强磁场导轨的右端接理想变压器的原线圈变压器原、副线圈匝数之比市m10副线圈与R=20Ω的电阻组成闭合回路质量m=02kg的导体棒ab垂直MN、PQ放置从1=0时刻开始在水平外力F作用下在磁场中运动其速度随时间按v=2sin20πm变化不计导轨、导线、导体棒电阻求：MaN1在ab棒中

(1) 由动生电的法拉第电磁感应定律可得，导体棒在磁场中运动会在其两端产生电动势： $$e=BLv$$ 其中，B为磁感应强度，L为导体棒的长度，v为导体棒在磁场中运动的速度。代入数据可得： $$e=0.4\times5\times2\sin\frac{40\pi}{m} \text{V}$$

(2) 根据欧姆定律，电阻上的热功率为： $$P=\frac{e^2}{R}$$ 代入数据可得： $$P=\frac{(0.4\times5\times2\sin\frac{40\pi}{m})^2}{20}=0.2\sin^2\frac{40\pi}{m} \text{W}$$

(3) 外力做功等于导体棒电能的增加量，即： $$W=\int_0^{0.125}e\frac{dmv}{dt}dt=\int_0^{0.125}e\frac{dm}{dt}vdt$$ 由题可知，$\frac{dm}{dt}=0$，因此： $$W=\int_0^{0.125}e\frac{dm}{dt}vdt=0$$ 外力所做的功为0。

(1) 根据帕斯卡定律，两个活塞所受压强相等，即： $$p_1=\frac{m_Bg}{S_B}+\frac{m_Ag}{S_A}$$ 代入数据可得： $$m_A=\frac{p_1S_A-m_Bg}{gS_A}=\frac{1.2\times10^5\times20\times10^{-4}-1\times10}{10\times10^{-2}\times10}=239.8\text{g}\approx0.24\text{kg}$$

(2) 当活塞B即将脱离小圆筒时，两活塞处于同一高度，因此有： $$\frac{m_Bg}{S_B}+\frac{1}{2}k(h-L)=p_2$$ 其中，k为弹性系数，h为活塞B的位置，L为弹性细线的原长，p2为缸内气体压强。根据理想气体状态方程和热力学第一定律： $$p_1V_1=nRT_1,\quad p_2V_2=nRT_2,\quad \Delta U=Q-W$$ 其中，n为气体摩尔数，R为气体常数，V为气体体积，T为气体温度，$\Delta U$为气体内能变化量，Q为气体吸收的热量，W为气体对外界做功。由于过程是绝热的，因此$\Delta U=0$，$Q=W$，且有： $$V_1S_A=V_2S_B\Rightarrow V_2=\frac{S_A}{S_B}V_1$$ 将上述式子代入前三个方程，整理可得： $$T_2=\frac{2p_1S_AV_1}{nR(S_A+S_B)}-T_1=\frac{2\times1.2\times10^5\times20\times10^{-4}\times0.8}{nR(20\times10^{-4}+10\times10^{-4})}-600=964.3\text{K}$$

(3) 当细线的张力恰好为0时，两活塞处于同一高度，因此有： $$\frac{m_Bg}{S_B}+\frac{1}{2}k(h-L)-\frac{m_Ag}{S_A}=0$$ 由此解出$h$： $$h=L+\frac{m_AgS_B}{2kS_A}=\frac{0.8+0.24\times10\times10^{-2}}{1+\frac{1}{2}\times\frac{10}{20}}=0.851\text{m}$$ 再利用理想气体状态方程和热力学第一定律： $$p_1V_1=nRT_1,\quad p_2V_2=nRT_2,\quad \Delta U=Q-W$$ 其中，n为气体摩尔数，R为气体常数，V为气体体积，T为气体温度，$\Delta U$为气体内能变化量，Q为气体吸收的热量，W为气体对外界做功。由于过程是准静态的，因此$\Delta U=Q$，且有： $$V_1S_A=V_2S_B\Rightarrow V_2=\frac{S_A}{S_B}V_1$$ 根据理想气体状态方程和上述式子，可得： $$\frac{p_2}{T_2}=\frac{p_1}{T_1}\Rightarrow T_2=\frac{p_2T_1}{p_1}=\frac{p_2V_1}{nR}$$ 代入数据可得： $$T_2=\frac{p_2S_AV_1}{nR(S_A+S_B)}=\frac{(1.2-1)\times10^5\times20\times10^{-4}\times0.8}{nR(20\times10^{-4}+10\times10^{-4})}=533.3\text{K}$$ 由于$\Delta U=-162\text{J}$，因此： $$Q=-\Delta U=162\text{J}$