求一个双曲线它与双曲线x212-y23=1有着共同的渐近线并且它经过点61用高中知识解答

首先我们观察原双曲线的标准方程：

$$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=1$$

将其化简为标准双曲线方程：

$$\frac{(x-\sqrt{12})\cdot(x+\sqrt{12})}{12}-\frac{(y-\sqrt{3})\cdot(y+\sqrt{3})}{3}=1$$

双曲线的渐近线方程为：

$$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=0$$

即

$$x^2-4y^2=0$$

解这个方程，得到两条直线：

$$y=\frac{x}{2}$$

$$y=-\frac{x}{2}$$

我们要找的双曲线必须与这两条直线有着相同的渐近线。

我们可以尝试用双曲线的一般式来表示它：

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

其中$a$和$b$分别为双曲线的横轴和纵轴的半轴长度。

我们要求的双曲线经过点$(6,1)$，因此带入这个点的坐标，得到：

$$\frac{6^2}{a^2}-\frac{1^2}{b^2}=1$$

化简得：

$$\frac{36}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1$$

再次观察原双曲线的标准方程：

$$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=1$$

可以发现，$a=\sqrt{12}$，$b=\sqrt{3}$。

将这些值带入上式，得到：

$$\frac{36}{12}-\frac{1}{3}=1$$

因此，

$$\frac{1}{a^2}=\frac{1}{12}$$

$$\frac{1}{b^2}=\frac{1}{3}$$

代入双曲线的一般式中，得到：

$$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=1$$

这个双曲线与原双曲线有着相同的渐近线，且经过点$(6,1)$