离散数学书上关于R的传递闭包tR= R∪R²∪R³∪U Rᵏ⁻¹。 1第一步根据关系图总结传递闭包的方法自己总结一个与上面这个式子类似的传递闭包的式子最后一项的幂可以是一个具体的值或者自己研究发现其他的 2第二步解释说明为什么给出的是这个一个式子说明其合理性3第三步证明你给出的式子确实也是关系R的传递闭包 4第四步讨论你给出的式子和书上给的式子tR= R∪R²∪R³∪U Rᵏ⁻¹有什么样的联系 要

题目：离散数学中关系的传递闭包

摘要：本文从关系的传递闭包出发，总结了一种新的传递闭包的式子，即t(R)= R∪R²∪R³∪...U Rⁿ。通过解释和证明，说明了该式子的合理性和正确性，并讨论了其与书上给出的传递闭包式子的联系。

正文部分：

1. 传递闭包的式子

传递闭包是指关系R的最小传递关系，即包含R的所有元素对(x,y)，且对于任意的(x,y)∈R，(y,z)∈R，则(x,z)∈R。在离散数学中，传递闭包的式子通常是t(R)= R∪R²∪R³∪...U Rᵏ⁻¹，其中k表示关系R的元素个数。但是，我们也可以从关系图的角度出发，总结一种类似的传递闭包式子，即t(R)= R∪R²∪R³∪...U Rⁿ，其中n表示关系R中最长的链的长度。

2. 传递闭包式子的合理性

我们可以通过以下证明来说明t(R)= R∪R²∪R³∪...U Rⁿ是一个合理的传递闭包式子：

首先，对于任意的(x,y)∈R，(y,z)∈R，由于R是一个关系，所以(x,z)∈R，即(x,z)∈R²。同样地，对于任意的(x,y)∈R²，(y,z)∈R²，由于R是一个关系，所以(x,z)∈R³。依此类推，对于任意的(x,y)∈R，(y,z)∈Rⁿ⁻¹，由于R是一个关系，所以(x,z)∈Rⁿ。因此，我们可以得到t(R)= R∪R²∪R³∪...U Rⁿ是一个传递闭包式子。

3. 传递闭包式子的正确性

接下来，我们需要证明t(R)确实是关系R的传递闭包。为了证明该结论，我们需要证明以下三个条件：

（1）t(R)包含关系R的所有元素对。

（2）t(R)是一个传递关系。

（3）t(R)是关系R的最小传递关系。

首先，由于t(R)= R∪R²∪R³∪...U Rⁿ，所以t(R)肯定包含了关系R的所有元素对。

其次，对于任意的(x,y)∈t(R)，(y,z)∈t(R)，我们可以将它们表示为(x,y)∈Rⁱ，(y,z)∈Rʲ，其中i,j∈N。根据传递闭包的定义，(x,z)∈Rⁱʲ。因此，我们可以得到t(R)是一个传递关系。

最后，我们需要证明t(R)是关系R的最小传递关系。假设存在另一个传递关系S，且S包含于t(R)，则S也包含于R∪R²∪R³∪...U Rⁿ。因此，S也是R的传递闭包。因此，我们可以得到t(R)是关系R的最小传递关系。

4. 传递闭包式子的联系

从数学上来说，t(R)= R∪R²∪R³∪...U Rⁿ和t(R)= R∪R²∪R³∪...U Rᵏ⁻¹都是关系R的传递闭包式子。但是，它们的具体含义是不同的。前者表示t(R)包含了所有长度小于等于n的链，而后者表示t(R)包含了所有长度小于等于k-1的链。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择合适的传递闭包式子。例如，在社交网络分析中，我们需要找到两个人之间的关系链，这时候可以使用长度小于等于n的链来表示；而在路网分析中，我们需要找到两个地点之间的路径，这时候可以使用长度小于等于k-1的链来表示。

结论：

本文从关系的传递闭包出发，总结了一种新的传递闭包的式子，即t(R)= R∪R²∪R³∪...U Rⁿ。通过解释和证明，说明了该式子的合理性和正确性，并讨论了其与书上给出的传递闭包式子的联系。在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择合适的传递闭包式子。

结束语：

关系的传递闭包是离散数学中的一个重要概念，它在实际应用中有着广泛的应用。本文通过总结传递闭包的方法，给出了一种新的传递闭包式子，并对其进行了证明和讨论。希望本文能够对读者有所启发，对离散数学的学习和应用有所帮助。

参考文献：

[1] Rosen, K. H. (2012). Discrete mathematics and its applications. New York: McGraw-Hill.

[2] 张凤荣. 离散数学[M]. 北京: 北京邮电大学出版社, 2013.

[3] 韩高阳. 离散数学[M]. 北京: 清华大学出版社, 2012