举一个凑微分法求微分方程 的例子

考虑微分方程 $y''+4y=5\cos(2x)$，我们想要通过凑微分法来求解它。

首先，我们观察到右侧的 $5\cos(2x)$ 是一个三角函数，而 $4$ 是一个平方数。因此，我们可以尝试假设解有形式 $y=A\cos(2x)+B\sin(2x)$。这样，我们可以得到：

$$y'=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)$$

$$y''=-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)$$

将这些代入原方程，我们得到：

$$(-4A\cos(2x)-4B\sin(2x))+4(A\cos(2x)+B\sin(2x))=5\cos(2x)$$

化简得：

$$(-4A+4B)\cos(2x)+(-4B-4A)\sin(2x)=5\cos(2x)$$

由于 $\cos(2x)$ 和 $\sin(2x)$ 是线性无关的，我们可以将等式两侧的系数分别相等，即：

$$-4A+4B=5$$

$$-4B-4A=0$$

解这个线性方程组，得到 $A=-\frac{5}{8}$，$B=\frac{5}{8}$。因此，我们的特解为：

$$y_p=-\frac{5}{8}\cos(2x)+\frac{5}{8}\sin(2x)$$

最终的通解为：

$$y=y_c+y_p$$

其中 $y_c$ 是对应于齐次微分方程 $y''+4y=0$ 的通解，可以通过求特征方程的根来得到：

$$y_c=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)$$

综上所述，原微分方程的通解为：

$$y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)-\frac{5}{8}\cos(2x)+\frac{5}{8}\sin(2x)$