若向量组8111a222线性相关则a___________0002

由题意可得： $$\alpha \begin{pmatrix} 8 \ 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} a \ 2 \ 2 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 2 \end{pmatrix}$$ 因为向量组线性相关，所以存在不全为零的 $\alpha$ 和 $\alpha_2$ 使得上式成立。我们不妨设 $\alpha_2 \neq 0$，则有： $$\begin{cases} 8\alpha + a\alpha_2 = 0 \ \alpha + 2\alpha_2 = 0 \ \alpha + 2\alpha_2 = 0 \ \alpha + 2\alpha_2 = \frac{2}{\alpha_2} \end{cases}$$ 由第二个和第三个方程可知 $\alpha_2 = -\frac{\alpha}{2}$，进一步代入第一个方程得 $a = -4$。但是由第四个方程可知 $\alpha_2$ 不能为零，因此假设不成立，即向量组线性无关