高数里如何判断一个场是否为保守场

一个场是否为保守场，可以通过判断其旋度是否为零来确定。如果一个场的旋度为零，则该场为保守场；反之，如果一个场的旋度不为零，则该场为非保守场。

旋度的定义为：

$$ \operatorname{rot} \vec{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \hat{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{k} $$

其中，$\vec{F}$ 为场，$\frac{\partial F}{\partial x}$ 等为场在对应坐标轴上的偏导数。

如果一个场的旋度为零，则有：

$$ \operatorname{rot} \vec{F} = \vec{0} $$

这时，该场为保守场。如果一个场的旋度不为零，则有：

$$ \operatorname{rot} \vec{F} \neq \vec{0} $$

这时，该场为非保守场