一个矩形波导的尺寸是 a=22cmb=1cm内部是空气该波导是否可以传输波长为3cm的微波？并求其在波导中的相移常数、波导波长、相速度、群速度和波阻抗。

根据波导的截止频率公式： $$f_c=\frac{c}{2\sqrt{(\frac{m}{a})^2+(\frac{n}{b})^2}}$$ 其中，$m$，$n$分别为波导内部的横向和纵向模式数，$c$为光速。

将$a=22\text{cm}$，$b=1\text{cm}$，$f_c=\frac{c}{\lambda_c}$，$\lambda_c=3\text{cm}$代入可得： $$(\frac{m}{a})^2+(\frac{n}{b})^2=\frac{c^2}{4\lambda_c^2}$$ $$\frac{m^2}{22^2}+\frac{n^2}{1^2}=\frac{c^2}{4\times 3^2}$$ $$m^2+\frac{22^2}{3^2}n^2=\frac{c^2}{4}\times \frac{1}{3^2}$$ $$m^2+220n^2=1.234\times 10^{11}$$

因此，任何$m$和$n$都满足上述方程，因此该波导可传输3cm的微波。

接下来计算该波导的其他参数。

相移常数： $$\beta=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{3\text{cm}}=2.09\text{cm}^{-1}$$

波导波长： $$\lambda_g=\frac{\lambda}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}}=\frac{3\text{cm}}{\sqrt{1-(\frac{3\text{cm}}{22\text{cm}})^2}}=5.53\text{cm}$$

相速度： $$v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{2\pi f}{2.09\text{cm}^{-1}}=302.8\text{cm/s}$$

群速度： $$v_g=\frac{d\omega}{dk}=\frac{d(\beta\cdot f)}{dk}=\beta+\frac{df}{dk}\cdot\frac{1}{d\beta/dk}$$ 又因为$\frac{df}{dk}=-\frac{c^2}{2\lambda^3}$，$\frac{d\beta}{dk}=\frac{d}{dk}\frac{2\pi}{\lambda}=-\frac{2\pi}{\lambda^2}\cdot\frac{d\lambda}{dk}=-\frac{2\pi}{\lambda^2}\cdot\frac{\lambda_c^2}{\lambda^3}$， 代入可得： $$v_g=\beta-\frac{c^2}{2\lambda^3}\cdot\frac{\lambda^2}{\lambda_c^2}\cdot\frac{\lambda^2}{2\pi}=-\frac{c^2}{2\pi f\lambda_c^2}+\beta$$ $$v_g=-\frac{(3\times 10^8 \text{m/s})^2}{2\pi\times 10^9 \text{Hz}\times (3\times 10^{-2}\text{m})^2}+2.09\text{cm}^{-1}=2.75\times 10^7\text{cm/s}$$

波阻抗： $$Z=\frac{E}{H}=\frac{1}{\eta}=\frac{1}{\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}}=\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}=377\Omega$